Para todo a > 0 , o gráfico y = f ( x ) intercepta ortogonalmente a curva x 2 + 2 y 2 = a . Determine f sabendo que f 1 = 2 .

Passo 1

Meus fofos, sem muita enrolação, vamos lá:

Inicialmente, precisamos calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva x 2 + 2 y 2 = a :

2 x + 4 y d y d x = 0

d y d x = - x 2 y

Após essa etapa, precisamos lembrar de uma propriedade de álgebra:

Dadas duas retas p e q, ao constatar que as retas se interceptam ortogonalmente, podemos garantir que a seguinte relação a respeito dos respectivos coeficientes angulares é válida:

∝ p ∙ ∝ q = - 1

Então, mãos a obra:

- x 2 y ∙ ∝ q = - 1 ⇒ ∝ q = 2 y x

Sendo d y d x = 2 y x , vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:

1 2 ∫ d y y = ∫ d x x

1 2 ln ⁡ y = ln ⁡ x + k

Lembrando de 2 propriedades:

a ∙ ln ⁡ b = ln ⁡ b a   e   c = ln ⁡ e c

Logo:

ln ⁡ y = ln ⁡ x e k

Vamos elevar a ‘e’ ambos os lados da equação, que é a base do logaritmo:

y = x e k

f x = y = x 2 e 2 k

O problema trata-se de um PVI (problema de valor inicial) e diz que: f 1 = 2

f 1 = 2 ⇒ 2 = 1 2 e 2 k

e 2 k = 2

Por fim:

f x = y = 2 x 2

Resposta

f x = y = 2 x 2

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