Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 12

12. Sabe-se que a equação

y ' ' - y ' - x y = 0

Admite uma solução y = y x ,     x ∈ R . Satisfazendo as condições iniciais y 0 = 1 , y ' 0 = 0 . Sabe-se, ainda, que tal solução é desenvolvível em série de potências, em volta da origem, com raio de convergência + ∞ ; isto é, para todo x .

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n !   x n

Prove:

A - y n 0 = y n - 1 0 + n - 2 y n - 3 0 ,     n ≥ 4

B - y n 0 ≤ n - 1 y n - 1 0 ,     n ≥ 4

C - y n 0 n ! ≤ 1 2 n ,     n ≥ 3

D - Para x < 1 .

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < x p 2 p 1 - x

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, aqui basicamente devemos buscar qual é a lei de recorrência!

Sabemos que a solução é do tipo...

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n !   x n     →

Para facilitar os nossos estudos, que tal chamarmos a n o termo envolvendo a derivada?

y n 0 n ! = a n

Então, a nossa solução será...

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ a n   x n     →

Calculando a derivada...

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n ⋅ a n   x n - 1     →

Bem como a segunda...

y ' ' x = ∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2    

E substituindo-se na EDO...

y ' ' - y ' - x y = 0   →

∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n = 1 + ∞ n ⋅ a n   x n - 1 - x 1 + ∑ n = 1 + ∞ a n   x n = 0         →

∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n = 1 + ∞ n ⋅ a n   x n - 1 - x - ∑ n = 1 + ∞ a n   x n + 1 = 0         →

Beleza! Como em todo problema de resolução de EDO por série temos que buscar uma única série que satisfazem essas condições:

  1. Primeiro vamos colocar todos os x com o mesmo expoente x n - 2 , para isso, vamos retirar 1 de todos os n da segunda série:

    2. ∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n - 1 = 1 + ∞ n - 1 ⋅ a n - 1   x n - 1 - 1 - x - ∑ n = 1 + ∞ a n   x n + 1 = 0         →

    Agora retiraremos 3 de todos os n ’s da última....

    ∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n = 2 + ∞ n - 1 ⋅ a n - 1   x n - 2 - x - ∑ n - 3 = 1 + ∞ a n - 3   x n + 1 - 3 = 0         →

    ∑ n = 2 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n = 2 + ∞ n - 1 ⋅ a n - 1   x n - 2 - x - ∑ n = 4 + ∞ a n - 3   x n - 2 = 0         →

  2. Beleza! Agora devemos colocar todas as séries começando do mesmo ponto n = 4 , para isto, basta remover os 2 primeiros termos das duas primeiras sérias:

2 - 1 2 ⋅ a 2   x 2 - 2 + 3 - 1 3 ⋅ a 3   x 3 - 2 + ∑ n = 4 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - 2 - 1 ⋅ a 2 - 1   x 2 - 2 - 3 - 1 ⋅ a 3 - 1   x 3 - 2 - ∑ n = 4 + ∞ n - 1 ⋅ a n - 1   x n - 2 - x - ∑ n = 4 + ∞ a n - 3   x n - 2 = 0         →

2 a 2   + 6 a 3   x - a 1   - 2 a 2   x - x + ∑ n = 4 + ∞ n - 1 n ⋅ a n   x n - 2 - ∑ n = 4 + ∞ n - 1 ⋅ a n - 1   x n - 2 - ∑ n = 4 + ∞ a n - 3   x n - 2 = 0         →

Colocando todo mundo sob a mesma série agora...

2 a 2   + 6 a 3   x - a 1   - 2 a 2   x - x + ∑ n = 4 + ∞ n - 1 n ⋅ a n - n - 1 ⋅ a n - 1 - a n - 3     x n - 2 = 0         →

Essa igualdade será verdadeira se e somente se...

2 a 2   + 6 a 3   x - a 1   - 2 a 2   x - x = 0       ( i )

n - 1 n ⋅ a n - n - 1 ⋅ a n - 1 - a n - 3   = 0       i i →

Dessa segunda equação podemos tirar que...

n - 1 n ⋅ a n = n - 1 ⋅ a n - 1 + a n - 3   →

a n = a n - 1 n + a n - 3 n n - 1   →

Como a n é...

a n = y n 0 n !

Logo...

a n - 1 = y n - 1 0 n - 1 !

a n - 3 = y n - 3 0 n - 3 !

Jogando na equação i i ...

y n 0 n ! = 1 n ⋅ y n - 1 0 n - 1 ! + 1 n n - 1 ⋅ y n - 3 0 n - 3 !   →

y n 0 n ! = y n - 1 0 n ! + n - 2 n n - 1 n - 2 ⋅ y n - 3 0 n - 3 !   →

y n 0 n ! = y n - 1 0 n ! + n - 2 y n - 3 0 n ! →

Cortando todos os n ! ...

y n 0 = y n - 1 0 + n - 2 y n - 3 0

Passo 2

L e t r a   B :

Queremos provar agora que...

y n 0 ≤ n - 1 y n - 1 0 →

Dividindo todo mundo por n ! ...

y n 0 n ! ≤ n - 1 y n - 1 0 n !   →

y n 0 n ! ≤ n - 1 y n - 1 0 n ⋅ n - 1 !   →

a n ≤ n - 1 n a n - 1   →

Da primeira equação que estávamos trabalhando ali em cima i ...

n - 1 a n = n - 1 a n - 1 n + a n - 3 n     →

n - 1 a n - a n - 3 n     = n - 1 a n - 1 n

Então temos que provar que...

a n ≤ n - 1 a n - a n - 3 n     →

a n - n - 1 a n ≤ - a n - 3 n     →

- n + 2 a n ≤ - a n - 3 n     →

Da primeira equação i ...

2 a 2   + 6 a 3   x - a 1   - 2 a 2   x - x = 0

Lembre-se que o a 1 = y ' 0 1 ! = 0 ...

2 a 2 = a 1 = 0

a 3   = a 2 3 + 1 6   →

a 3 = 1 6

Então podemos tirar por inspeção da equação...

a n = a n - 1 n + a n - 3 n n - 1     →

Que...

a 4 = a 3 4 + a 1 4 ⋅ 3 = a 3 4 ≤ a 3 - 1 4 a 3

Ou ainda que...

a 5 = a 4 5 + a 2 5 ⋅ 4 = a 4 5 ≤ a 4 - 1 5 a 4

E que...

a 6 = a 5 6 + a 3 6 ⋅ 5 ≤ a 5 - a 5 6

Então, no geral podemos de fato falar que...

a n ≤ n - 1 n a n - 1

Logo...

y n 0 ≤ n - 1 y n - 1 0

Passo 3

L e t r a   C :

Queremos provar agora que...

y n 0 n ! ≤ 1 2 n       →

Mas já sabemos do passo anterior que...

y n 0 ≤ n - 1 y n - 1 0 ,       n ≥ 4

Então, vejamos, para n = 4 ...

y 4 0 ≤ 3 ⋅ y 3 0

Para n = 5

y 5 ≤ 4 y 4 0 ≤ 4 ⋅ 3 ⋅ y 3 0

Pra n = 6 ...

y 6 ≤ 5 ⋅ y 5 0 ≤ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ y 3 0

Então, para n qualquer...

y n ≤ n - 1 ! 2 y 3 0

Multiplicando e dividindo por n ...

y n ≤ n ! 2 n y 3 0     →

y n n ! ≤ 1 2 n y 3 0     →

Do passo anterior, vimos que...

a 3 = 1 6

Portanto...

y 3 0 3 ! = 1 6   →

y 3 0 = 1

E, portanto...

y n n ! ≤ 1 2 n

Passo 4

Agora temos que provar que para x < 1 , podemos escrever...

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < x p 2 p 1 - x       →

Bem, sabemos que...

y x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ y n 0 n !   x n < 1 + ∑ n = 1 p - 1 y n 0 n !   x n           →

Então...

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < 0

Sabemos que...

∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < ∑ n = 3 p - 1 1 2 n x n < ∑ n = 3 p - 1 1 2 p x n

E como...

∑ n = 3 p - 1 x n = 1 - x p 1 - x - 1 - x - x 2 ≤ 1 - x p 1 - x

Então...

∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < 1 - x p 2 p 1 - x < - x p 2 p 1 - x

BELEZA! ENTÃO PELA DESIGUADADE TRIANGULAR...

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n ≤   y x + 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n ≤ ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n →

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n ≤   ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n →

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < - x p 2 p 1 - x     →

y x - 1 + ∑ n = 3 p - 1 y n 0 n !   x n < x p 2 p 1 - x

SACOU ?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro