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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 6b

6 - Seja W t ,   t ∈ R , o wronskiano de três soluções do sistema 1 :

W t = x 1 t x 2 t x 3 t y 1 t y 2 t y 3 t z 1 t z 2 t z 3 t

Mostre que

A)

W ˙ = x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 ˙ y 2 ˙ y 3 ˙ z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 ˙ z 2 ˙ z 3 ˙

B)

W ˙ = a 11 + a 22 + a 33 W

C)

W t = W 0 e a 11 + a 22 + a 33 t ,         t ∈ R

Passo 1

L e t r a   B :

Bem, temos que provar que...

W ˙ = a 11 + a 22 + a 33 W

No problema anterior, provamos que...

W ˙ = x 1 ˙ y 2 z 3 - y 3 z 2 + x 2 ˙ y 3 z 1 - y 1 z 3 + x 3 ˙ y 1 z 2 - y 2 z 1 + y 1 ' x 3 z 2 - x 2 z 3 + y 2 ' x 1 z 3 - x 3 z 1 + y 3 ' x 2 z 1 - x 1 z 2 + z 1 ' x 2 y 3 - x 3 y 2 + z 2 ' y 1 x 3 - x 1 y 3 + z 3 ' x 1 y 2 - x 2 y 1     →

W ˙ = x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 ˙ y 2 ˙ y 3 ˙ z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 ˙ z 2 ˙ z 3 ˙

Onde os termos em negrito formam o primeiro determinante e assim por diante. Sabemos ainda que o sistema 1 do qual a questão 6 tanto fala é o seguinte sistema:

x ' = a 11 x + a 12 y + a 13 z y ' = a 21 x + a 22 y + a 23 z z ' = a 31 x + a 32 y + a 33 z →

Como...

x 1 y 1 z 1 ,       x 2 y 2 z 2           e         x 3 y 3 z 3

São vetores soluções, podemos concluir que cada um deles satisfazem a o sistema 1:

x 1 ' = a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 z 1 y 1 ' = a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 z 1 z 1 ' = a 31 x 1 + a 32 y 1 + a 33 z 1 →

x 2 ' = a 11 x 2 + a 12 y 2 + a 13 z 2 y 2 ' = a 21 x 2 + a 22 y 2 + a 23 z 2 z 2 ' = a 31 x 2 + a 32 y 2 + a 33 z 2 →

x 3 ' = a 11 x 3 + a 12 y 3 + a 13 z 3 y 3 ' = a 21 x 3 + a 22 y 3 + a 23 z 3 z 3 ' = a 31 x 3 + a 32 y 3 + a 33 z 3 →

SHOW! Então vamos provar primeiro que...

x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = a 11 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Passo 2

Sabemos então que...

x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 ˙ y 2 z 3 - y 3 z 2 + x 2 ˙ y 3 z 1 - y 1 z 3 + x 3 ˙ y 1 z 2 - y 2 z 1

Substituindo x 1 ' por a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 z 1 , x 2 ' pela expressão obtida no segundo sistema, e por último substituindo x 3 ' pela expressão do último sistema...

a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 z 1 y 2 z 3 - y 3 z 2 + a 11 x 2 + a 12 y 2 + a 13 z 2 y 3 z 1 - y 1 z 3 + a 11 x 3 + a 12 y 3 + a 13 z 3   →

Multiplicando todos esses termos...

a 11 x 1 y 2 z 3 + a 12 y 1 y 2 z 3 + a 13 z 1 y 2 z 3 - a 11 x 1 y 3 z 2 + a 12 y 1 y 3 z 2 + a 13 z 1 y 3 z 2 + a 11 x 2 y 3 z 1 + a 12 y 2 y 3 z 1 + a 13 z 2 y 3 z 1 - a 11 x 2 y 1 z 3 + a 12 y 2 y 1 z 3 + a 13 z 2 y 1 z 3 + a 11 x 3 + a 12 y 3 + a 13 z 3 y 1 z 2 - y 2 z 1

a 11 x 1 y 2 z 3 + a 12 y 1 y 2 z 3 + a 13 z 1 y 2 z 3 - a 11 x 1 y 3 z 2 + a 12 y 1 y 3 z 2 + a 13 z 1 y 3 z 2 + a 11 x 2 y 3 z 1 + a 12 y 2 y 3 z 1 + a 13 z 2 y 3 z 1 - a 11 x 2 y 1 z 3 + a 12 y 2 y 1 z 3 + a 13 z 2 y 1 z 3 + a 11 x 3 y 1 z 2 + a 12 y 3 y 1 z 2 + a 13 z 3 y 1 z 2 - a 11 x 3 y 2 z 1 + a 12 y 3 y 2 z 1 + a 13 z 3 y 2 z 1

Repare que exitem váaarios termos dessa expressão que poderemos cortar (todos estão aqui indicados em negrito):

a 11 x 1 y 2 z 3 + a 12 y 1 y 2 z 3 + a 13 z 1 y 2 z 3 - a 11 x 1 y 3 z 2 + a 12 y 1 y 3 z 2 + a 13 z 1 y 3 z 2 + a 11 x 2 y 3 z 1 + a 12 y 2 y 3 z 1 + a 13 z 2 y 3 z 1 - a 11 x 2 y 1 z 3 + a 12 y 2 y 1 z 3 + a 13 z 2 y 1 z 3 + a 11 x 3 y 1 z 2 + a 12 y 3 y 1 z 2 + a 13 z 3 y 1 z 2 - a 11 x 3 y 2 z 1 + a 12 y 3 y 2 z 1 + a 13 z 3 y 2 z 1

Cortando todo mundo...

a 11 x 1 y 2 z 3 - a 11 x 1 y 3 z 2 + a 11 x 2 y 3 z 1 - a 11 x 2 y 1 z 3 + a 11 x 3 y 1 z 2 - a 11 x 3 y 2 z 1

Podemos então reorganizar essa expressão...

a 11 x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 - x 1 y 3 z 2 - x 2 y 1 z 3 - x 3 y 2 z 1

E esses termos dos parênteses formam justamente a o determinante dessa matriz aqui:

a 11 ⋅ x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Portanto...

x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = a 11 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Passo 3

Como o sistema é simétrico podemos falar então que...

x 1 x 2 x 3 y 1 ˙ y 2 ˙ y 3 ˙ z 1 z 2 z 3 = a 22 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

E...

x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 ˙ z 2 ˙ z 3 ˙ = a 33 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Portanto...

W ˙ = x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 ˙ y 2 ˙ y 3 ˙ z 1 z 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 ˙ z 2 ˙ z 3 ˙   →

W ˙ = a 11 + a 22 + a 33 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Esse determinante aí é justamente o determinante que define o Wronskiano W :

W ˙ = a 11 + a 22 + a 33 W

PRONTINHO !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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