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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 20b

20. B - Seja α ≤ - 1 um real dado. Prove que para x = 1 a série...

∑ n = 1 ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! x n

É divergente.

Passo 1

Se x = 1 e α ≤ - 1 ...

∑ n = 1 ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !   →

∑ n = 1 ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 1 2 … n   →

Como α é menor que menos 1, podemos ver que

α > 1 ,       α - 2 > 2 ,       α - n + 1 > n

De modo que...

α α - 1 α - 2 … α - n + 1 > 1 2 … n - 1 n           ,   p a r a   t o d o   n

Dividindo um pelo outro...

α α - 1 α - 2 … α - n + 1 1 2 … n - 1 n ≥ 1

Repare que em módulo, esse cara é maior do que 1, embora o termo α α - 1 α - 2 … α - n + 1 seja um termo de sinais alternados. Uma das premissas para a convergência desse tipo de série, é de que para algum n , tenhamos pelo teste da série divergente que...

lim n → ∞ ⁡ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 1 2 … n - 1 n = 0

O que nunca acontece! Logo, a série é divergente!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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