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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 18

São dados uma função y = f x e um valor de x 0 .

  1. Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário x = x 0 .
  2. Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de x 0 .

f x = 1 x ;   x 0 = 4

Passo 1

  1. Para achar a fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário x = x 0 temos que avaliar o limite:

    2. lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

    Vamos então substituir os valores que temos:

    m t a n = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h = lim h → 0 ⁡ 1 x 0 + h - 1 x 0 h = lim h → 0 ⁡ 1 x 0 + h - 1 x 0 h =

    = lim h → 0 ⁡ x 0 - x 0 + h x 0 + h x 0 h = = lim h → 0 ⁡ x 0 - x 0 + h h x 0 + h x 0 = lim h → 0 ⁡ x 0 - x 0 + h x 0 + x 0 + h h x 0 + h x 0 x 0 + x 0 + h =

    = lim h → 0 ⁡ x 0 + x 0 x 0 + h - x 0 + h x 0 - x 0 + h h x 0 + h x 0 x 0 + x 0 + h = lim h → 0 ⁡ x 0 - x 0 - h h x 0 + h x 0 x 0 + x 0 + h =

    = lim h → 0 ⁡ - h h x 0 + h x 0 x 0 + x 0 + h = lim h → 0 ⁡ - 1 x 0 + h x 0 x 0 + x 0 + h =

    = - 1 x 0 + 0 x 0 x 0 + x 0 + 0 = - 1 x 0 x 0 x 0 + x 0 = - 1 x 0 2 x 0 = - 1 2 x 0 3 2

    Passo 2

  2. Agora para obter a inclinação da reta tangente para x 0 = 4 é só substituir esse valor no que achamos em a):

m t a n = - 1 2 x 0 3 2 = - 1 2 ⋅ 4 3 2 = - 1 2 ⋅ 4 3 = - 1 2 ⋅ 64 = - 1 2 ⋅ 8 = - 1 16

Resposta

  1. m t a n = - 1 2 x 0 3 2
  2. m t a n = - 1 16
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