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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 14

São dados uma função y = f x e os valores de x 0 e x 1 .

  1. Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo x 0 , x 1 .
  2. Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x no valor especificado de x 0 .
  3. Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x em um valor arbitrário de x 0 .
  4. A taxa de variação média em (a) é a inclinação de uma certa reta secante, e a taxa de variação instantânea em (b) é a inclinação de uma certa reta tangente. Esboce o gráfico de y = f x junto com essas duas retas.

y = 1 x 2 ;             x 0 = 1 , x 1 = 2

Passo 1

  1. A taxa de variação média no intervalo é dada pela fórmula:

    2. m = f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

    Vamos então achar f x 1 e f x 0 e substituir:

    f x 1 = f 2 = 1 2 2 = 1 4

    f x 0 = f 1 = 1 1 2 = 1

    Substituindo:

    m = f x 1 - f x 0 x 1 - x 0 = m = 1 4 - 1 2 - 1 = - 3 4 1 = - 3 4

    Passo 2

  2. A taxa de variação instantânea no intervalo com x 0 = 0 é dado por:

    3. m = lim x 1 → x 0 ⁡ f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

    Vamos então achar f x 1 e f x 0 e substituir:

    f x 1 = 1 x 1 2

    f x 0 = f 1 = 1 1 2 = 1

    Substituindo:

    m = lim x 1 → 1 ⁡ f x 1 - f x 0 x 1 - x 0 = lim x 1 → 1 ⁡ 1 x 1 2 - 1 x 1 - 1 = lim x 1 → 1 ⁡ - x 1 2 - 1 x 1 2 x 1 - 1 = lim x 1 → 1 ⁡ - x 1 2 - 1 x 1 2 ⋅ 1 x 1 - 1 =

    = lim x 1 → 1 ⁡ - x 1 - 1 x 1 + 1 x 1 2 ⋅ 1 x 1 - 1 = lim x 1 → 1 ⁡ - x 1 + 1 x 1 2 = - 1 + 1 1 2 = - 2

    Passo 3

  3. A taxa de variação instantânea no intervalo um valor arbitrário de x 0 é dado por:

    4. m = lim x 1 → x 0 ⁡ f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

    Vamos então achar f x 1 e f x 0 e substituir:

    f x 1 = 1 x 1 2

    f x 0 = 1 x 0 2

    Substituindo:

    m = lim x 1 → x 0 ⁡ f x 1 - f x 0 x 1 - x 0 = lim x 1 → x 0 ⁡ 1 x 1 2 - 1 x 0 2 x 1 - x 0 = lim x 1 → x 0 ⁡ x 0 2 - x 1 2 x 1 2 x 0 2 x 1 - x 0 = lim x 1 → x 0 ⁡ x 0 2 - x 1 2 x 1 2 x 0 2 ⋅ 1 x 1 - x 0 =

    = lim x 1 → x 0 ⁡ x 0 - x 1 x 0 + x 1 x 1 2 x 0 2 ⋅ 1 x 1 - x 0 = lim x 1 → x 0 ⁡ x 0 - x 1 x 0 + x 1 x 1 2 x 0 2 ⋅ - 1 - x 1 + x 0 =

    = lim x 1 → x 0 ⁡ - x 0 + x 1 x 1 2 x 0 2 = - x 0 + x 0 x 0 2 x 0 2 = - 2 x 0 x 0 4 = - 2 x 0 3

    Passo 4

  4. Aqui temos o gráfico de y = f x junto com as duas retas:

Resposta

  1. m = - 3 4
  2. m = - 2
  3. m = - 2 x 0 3
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