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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 15

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = (1)/(x)

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x) - (1)/(x))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x) - (1)/(x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x - (x + Delta x))/((x + Delta x) x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (x - (x + Delta x))/((x + Delta x) x) * (1)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x - x - Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x)

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- 1)/((x + Delta x) x) = (- 1)/((x + 0) x) = (- 1)/((x) x) = - (1)/(x^2)

Resposta

(d y)/(d x) = - (1)/(x^2)

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