Seja f : 0 ,   1 → R dada por:

f x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) 2.4 . 6 … 2 n x n    

Conclua que, para todo x   ϵ   0 ,   1 .

f x - 1 + ∑ n = 1 p - 1 - 1 n 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) 2.4 . 6 … 2 n x n     ≤ 1.3 . 5 … ( 2 p - 1 ) 2.4 . 6 … 2 p  

Onde p ≥ 2 é um número natural dado!

Passo 1

Bom turminha, nós já vimos extensivamente ao longo deste capítulo e dos exercícios que a função, no caso f ( x ) , pode ser escrita na forma de um somatório, certo?

Apesar de termos resultados muito próximos ao real, por ser uma aproximação nós temos um erro associado.

Do Exercício 6 nós podemos a função dada nunca será maior do que o termo a p , como a série aqui é mais complicada, sugiro que vocês olhem novamente a questão 6 e se certifiquem que isso realmente é verdade:

f x ≤ 1.3 . 5 … ( 2 p - 1 ) 2.4 . 6 … 2 p

Se esta função sozinha já é menor do que este termo, quando subtraímos dele um segundo somatório a afirmativa continua sendo verdadeira, concordam?

Então:

f x - 1 + ∑ n = 1 p - 1 - 1 n 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) 2.4 . 6 … 2 n x n     ≤ 1.3 . 5 … ( 2 p - 1 ) 2.4 . 6 … 2 p

De boa, não foi?

Resposta

f x - 1 + ∑ n = 1 p - 1 - 1 n 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) 2.4 . 6 … 2 n x n     ≤ 1.3 . 5 … ( 2 p - 1 ) 2.4 . 6 … 2 p

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