Seja F : R → R dada por

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x

Onde a série do 2 ° membro é a série de Fourier da função f x = x 2 ,   - π ≤ x ≤ π .

a) Prove que F é contínua.

Passo 1

Primeiramente, temos que calcular a 0 ,   a n   e   b n :

a 0 = 1 π ∫ - π π f ( x ) d x = 1 π ∫ - π π x 2 d x = 1 π ⋅ x 3 3 π - π = 1   π ⋅ 2 π 3 3 = 2 π 2 3

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x = 1 π ∫ - π π x 2 cos ⁡ n x d x = - 1 n 4 n 2 ,   n ≥ 1

b n = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ n x d x = 1 π ∫ - π π x 2 sen ⁡ n x d x = 0

Desse modo, temos que a série de Fourier é dada por:

π 2 2 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x

Passo 2

Como:

- 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x ≤ 4 n 2

Para todo n ≥ 1 .

Por M de Weierstrass, temos que a série converge uniformemente em R .

Desse modo, F se mostra contínua.

Resposta

F é contínua

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