Seja f : - π ,   π → R uma função par, contínua e de classe C 2 por partes. Prove que, para todo x em [ - π ,   π ] ,

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x

Que a convergência é uniforme neste intervalo, onde

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x ,   n ≥ 0

Passo 1

Como é dado que f é uma função par, então f - π = f ( π ) e seus coeficientes de Fourier se apresentam da seguinte maneira:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Sabendo que o produto de uma função par por uma função par é uma função par, temos:

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x = 2 π ∫ 0 π f x cos ⁡ n x d x

Sabendo que o produto de uma função par por uma função ímpar é zero, temos:

b n = 1 π ∫ - π π f x s en ⁡ n x d x = 0

Desse modo:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x   d x

Passo 2

Analisando que f : - π ,   π → R uma função par, contínua e de classe C 2 por partes, pelo T e o r e m a   d a   S e ç ã o   9.3 , temos que para todo x ∈ [ - π ,   π ] a convergência é uniforme para

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x

Resposta

T e o r e m a

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