Seja F : R → R dada por:

F x = ∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ ( n x )

Onde a série do 2º membro é a série de Fourier de f x = x 5 - π 4 x ,   - π ≤ x < π .

  1. Prove que, para todo x

F ' x = ∑ n = 1 + ∞ n b n . co s ⁡ ( n x )

Passo 1

Vamos finalizar a 9, ok?

Se a letra nos disse que a função F é uniformemente convergente e, portanto contínua podemos assumir que ela é também diferenciável.

Ou melhor:

∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ n x ' = ∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ ( n x ) '  

Usando a Regra da Cadeia:

b n . sen ⁡ n x ' = n b n . cos ⁡ n x

Sendo assim:

∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ n x ' = ∑ n = 1 + ∞ n b n . cos ⁡ n x

Rearranjando um pouquinho:

F ' ( x ) = ∑ n = 1 + ∞ n b n . cos ⁡ n x

Bem gostosa essa, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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