7. Seja f definida e integrável em - π , π . A série

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ,

Onde

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x ,

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x ,   n ≥ 1 ,

E

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x ,   n ≥ 1

Denomina-se série de Fourrier de f . Os números a n ,   n ≥ 0   e   b n ≥ 1 , são os coeficientes de Fourrier de f . Determine a série de Fourier da função dada e verifique que a série obtida converge uniformemente em R.

b )   f x = x ,   - π ≤ x ≤ π

Passo 1

Sendo a função f par, a série de Fourier será da forma a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x .

Cálculo dos coeficientes de Fourier:

a 0 = 1 π ∫ - π π x d x = 2 π ∫ 0 π x d x = π

a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x = 2 π ∫ 0 π x cos ⁡ n x   d x =   2 n 2 π - 1 n - 1 .

Resulta que a série de Fourier da função dada é:

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 cos ⁡ n x

Temos - 1 n - 1 = - 2 ,   s e   n   é   í m p a r 0 ,   s e   n   é   p a r

Então, a série de Fourier pode ser colocada na forma

π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 2

Passo 2

Como 2 π - 1 n - 1 n 2 cos ⁡ n x ≤ 4 π n 2 para todo x e todo n ≥ 1 , segue , do critério M de Weierstrass, que a série dada converge uniformemente em R.

Resposta

π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 2

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro