Verifique que a sequencia a_n = int_1^n (s e n x)/(x) d x é convergente

Passo 1

Te liga ai cara!!

Para verificar a convergência vamos aplicar o limite à sequencia.

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(l i m) int_1^n (s e n x)/(x) d x

Aqui possuímos uma integral por partes

...mas vamos devagar, que dá certo.

Inicialmente vamos relembrar como resolve uma integral por partes. É assim Oh!

int u d v = u v - int v d u

Logo vamos “dar nomes aos bois”

u = (1)/(x) -> d u = - (1)/(x^2) d x

d v = cos (x) d x -> v = - cos ( x )

Dessa forma

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(l i m) {[(1)/(x) (- cos (x))]_1^n - int_0^n (- cos (x)) (- (1)/(x^2)) d x}

Que aplicando os limites de integração será

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(lim) [- (cos (n))/(n) + cos 1 - int_1^n (cos (x))/(x^2) d x]

Passo 2

Antes de adentrar a segunda integral vamos analisar as duas primeiras parcelas

underset(n -> oo)(l i m) (cos (n))/(n) = underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n) cos (n) = 0

Pois cos ( n ) é limitado a - 1 e 1

Passo 3

Para a segunda integral vamos fazer primeiramente a seguinte análise para todo x >= 0

0 <= |(cos (x))/(x^2)| <= (1)/(x^2)

Como

int_1^(oo) (1)/(x^2) d x

É CONVERGENTE, pelo critério de comparação, então.

int_1^(oo) |(cos (x))/(x^2)| d x

Também é CONVERGENTE.

E, portanto.

int_1^n (cos (x))/(x^2) d x

É CONVERGENTE.

Sendo assim a sequência a_n dada é CONVERGENTE

Resposta

A sequência a_n dada é CONVERGENTE.

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