7. Seja f definida e integrável em - π , π . A série

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ,

Onde

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x ,

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x ,   n ≥ 1 ,

E

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n x d x ,   n ≥ 1

Denomina-se série de Fourrier de f . Os números a n ,   n ≥ 0   e   b n ≥ 1 , são os coeficientes de Fourrier de f . Determine a série de Fourier da função dada e verifique que a série obtida converge uniformemente em R.

c )   f x = π + x ,     - π ≤ x < 0 π - x ,     0 ≤ x ≤ π  

Passo 1

Neste caso, temos:

a 0 = 1 π [ ∫ - π 0 π + x d x + ∫ 0 π π - x d x ] = π  

a n = 1 π [ ∫ - π 0 π + x cos ⁡ n x d x + ∫ 0 π - π - x cos ⁡ n x d x ] = 1 π [ 1 n 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) + 1 n 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) ]  

Logo,

a n = 2 n 2 π ( 1 - cos ⁡ n π ) ,   p a r a   n = 1,2 , …

Como f ( x ) é uma função par, b n = 0 para n = 1,2 , … A série de Fourier é

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ ( 1 - cos ⁡ n π ) n 2 cos ⁡ n x

Ou seja,

π 2 + 4 π ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n - 1 x ( 2 n - 1 ) 2

Passo 2

Como 4 π cos ⁡ 2 n - 1 x ( 2 n - 1 ) 2 ≤ 4 π 2 n - 1 2 , para todo x e todo natural n ≥ 1 , segue, pelo critério M de Weierstrass, que a série é uniformemente convergente em R.

Resposta

π 2 + 4 π ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n - 1 x ( 2 n - 1 ) 2

Demonstração.

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