3. Seja ∑ n = 0 ∞ a n uma série de termos estritamente positivos e suponha que

a n + 1 a n = n k + b 1 n k - 1 + b 2 n k - 2 + … + b k n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k

Onde k é um natural fixo, k ≥ 1 e b 1 , b 2 , … , b k , c 1 , c 2 , … , c k são reais fixos. Prove

  1. c 1 - b 1 > 1 → ∑ n = 0 ∞ a n é convergente.

Passo 1

Letra (a)

Do critério de Gauss temos que,

n 1 - a n + 1 a n - 1 = c 1 - b 1 - 1 n k + c 2 - b 2 - 1 n k - 1 + … + c k - b k - 1 n n k + c 1 n k - 1 + c 2 n k - 2 + … + c k

Como

lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n - 1 = c 1 - b 1 - 1 ,

Desde que c 1 - b 1 - 1 ≠ 0 , e

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n = ∞

Segue que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - a n + 1 a n - 1 = + ∞   s e   c 1 - b 1 - 1 > 0 - ∞   s e   c 1 - b 1 - 1 < 0

Passo 2

Por outro lado, se c 1 - b 1 - 1 = 0 , pelo fato de lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 0 , teremos, também,

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - a n + 1 a n - 1 = 0

Pelo critério de De Morgan, a série será convergente c 1 - b 1 > 1 .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro