Seja p um natural qualquer e 0 < x <= 1 . Mostre que:

|sum_(n = p)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Passo 1

Vamo que vamooo galerinhaa!!

Vamos ter que ter algo em mente:

int x^(2 n) . d x = (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Sendo assim:

int sum_(p = 0)^(+ oo) x^(2 p) . d x = sum_(p = 0)^(+ oo) (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Nós sabemos que:

int_0^t sum_(p = 0)^(+ oo) x^(2 p) . d x = int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x

Então, usando o Teorema 2 da nossa seção 8.3, no intervalo fechado [ a , b ] contido no intervalo de convergência aberto ] - R , R [ , teremos que:

int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x = int_0^t sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p x^(2 p) . d x = sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Esta equação só é válida para o intervalo aberto - 1 < x < 1 , ok?

Se já sabemos disso precisamos voltar lá nas nossas regrinhas de integração e lembrar que:

int_0^t (1)/(1 - x ²) . d x = a r c t g x

Sendo assim:

a r c t g x = sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Então galera, o valor máximo que o |sum_(n = p)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| será apenas o termo (x^(2 p + 1))/(2 p + 1) .

Sendo assim:

|sum_(n = p)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Eu sei que é difícil visualizar essas coisas galerinha, mas vocês podem tentar jogar no Excel e brincar um pouco, assim fica mais fácil !!

;)

Resposta

|sum_(n = p)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

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