Seja f : R → R periódica de período 2 π , conínua e de classe C 2 por partes em [ - π ,   π ] . Prove que, para todo x ∈   R

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x ]

Onde a série do 2 º membro é a série de Fourier de f .

Passo 1

Do T e o r e m a   d a   S e ç ã o   9.3 , para todo x em [ - π ,   π ] temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x ]

Se fizermos a hipótese de que f é periódica com 2 π de período, junto com o fato da série de Fourier ser periódica de período 2 π , temos que para todo x ∈   R

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ [ a n cos ⁡ n x + b n   s e n   n x ]

É válido.

Resposta

T e o r e m a

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