Seja α   um real dado, com α > 0 e α não-natural. Prove que a série

∑ n = 1 + ∞ α α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! x n

Converge para x ≤ 1 e diverge para x > 1 .

Passo 1

Aqui, aplicaremos o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ α n + 1 α n

Sendo:

a n = α - n + 1 n !

E

a n + 1 = α - n + 1 α - n + 2 n + 1 !

Aplicando o teste:

lim n → ∞ ⁡ α - n + 1 α - n + 2 n + 1 ! α - n + 1 n ! = lim n → ∞ ⁡ α - n + 1 α - n + 2 n + 1 ⋅ n !   ⋅ n ! ( α - n + 1 )

lim n → ∞ ⁡ α - n + 2 n + 1   = 1

Como o resulado deu 1, o teste é inconclusivo. Deste modo, vamos avaliar a parte x n

Passo 2

Como lim n → ∞ ⁡ α n + 1 α é finito e diferente de zero, temos que a série convergirá para todo x tal que:

x < lim n → ∞ ⁡ α n α n + 1 = R

E divergirá para:

x > R

Passo 3

Calculando R :

lim n → ∞ ⁡ α - n + 1 n ! α - n + 1 α - n + 2 ( n + 1 ) ! = lim n → ∞ ⁡ α - n + 1 n ! ⋅ n + 1 ⋅ n ! α - n + 1 α - n + 2 = ∞

lim n → ∞ ⁡ n + 1 α - n + 2 = 1

Então, a série convergirá para x < 1 e divergirá pra x > 1 .

Resposta

A série convergirá para x < 1 e divergirá pra x > 1

Ver Outros Exercícios desse livro