Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 5
Seja um real dado, com Prove que
é uma série alternada convergente.
Passo 1
Para garantirmos que a série dada é alternada convergente, vamos precisar fazer uso do Critério de Leibniz:
1) (a sequência de termos precisa ser decrescente).
2) (quando n tende ao infinito, o termo geral precisa tender a 0 (zero)).
Vamos ao passo 1:
Para garantir que precisamos satisfazer a desigualdade:
Sendo
Para garantir que: , vamos precisar fazer uma análise qualitativa da divisão:
Sendo ‘n’ um natural positivo:
Para
Aplicando um simples jogo de sinais, sabemos que:
Sendo e
Com
Logo, garantimos que, se:
Portanto, o passo 1 se confirma.
Passo 2
Sendo a lei de formação da série:
Se garantirmos que a série é convergente, por consequência, garantiremos que
Para tal, vamos fazer uso do critério de Raabe, para a série:
a) a série é convergente.
b) a série é divergente
c) o critério é inconclusivo.
Vamos!
Agora, para resolvermos o limite com , vamos fazer o uso da regra do expoente:
Mas, ora ora senhores...
Garantimos que a série dada por
é convergente.
Sendo
Por consequência:
Logo, o passo 2 também se confirma.
Após confirmarmos os 2 passos, garantimos que a série dada é alternada convergente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)