2. Utilizando o critério de Cauchy, prove que se ∑ k = 0 ∞ a k for absolutamente convergente, então ∑ k = 0 ∞ a k será convergente.

Passo 1

Sendo ∑ k = 0 ∞ a k convergente, pelo critério de Cauchy, dado ε > 0 existe n 0 tal que, quaisquer que sejam os naturais n   e   p ,   p ≥ 1 ,   tem-se

n > n 0 → a p + 1 + a n + 2 + … + a n + p < ε

Tendo em vista a desigualdade,

a n + 1 + a n + 2 + … + a n + p ≤ a n + 1 + a n + 2 + … + a n + p

Sugue que temos, também, quaisquer que sejam n   e   p ,   p ≥ 1 ,

a n + 1 + a n + 2 + … + a n + p < ε ,   p a r a   n > n 0

Logo, ∑ k = 0 ∞ a k é convergente.

Resposta

Demonstração.

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