Suponha que f : Ω → R contínua no aberto Ω contido em R 2 . Seja y = ϕ x definida no intervalo I e com gráfico contido em Ω . Seja x 0 ,   y 0 ∈ Ω , com x 0 ∈ I . Prove que y = ϕ x , x ∈ I , será solução da equação

y ' = f x ,   y

e satisfazendo a condição inicial ϕ x 0 = y 0 se, e somente se,

ϕ x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t ,   x ∈ I

Passo 1

Legal, queremos mostrar que ϕ é solução da equação diferencial y ' = f x ,   y satisfazendo a condição inicial ϕ x 0 = y 0 se, e somente se,

ϕ x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t ,   x ∈ I

Teríamso que provar primeiro que esse ϕ satifaz a equação diferencial e a condição inicial. Para ver que satisfaz a codnição inicial é muito fácil:

ϕ x 0 = y 0 + ∫ x 0 x 0 f t ,   ϕ t   d t

Como

∫ a a f x   d x = 0

Temos que

ϕ x 0 = y 0

Passo 2

Agora nós derivamos ϕ x :

ϕ ' x = y 0 ' + d d x ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t

Sabemos que y 0 ' = 0 e pelo teorema fundamental do cálculo:

d d x ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t = f x ,   ϕ x

Portanto,

ϕ ' x = f x ,   ϕ x

Logo, provamos que ϕ x é uma solução da equação

y ' = f x ,   y

Passo 3

Com isso, provamos que

ϕ x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t ⇒ ϕ ' x = f x ,   ϕ x

Mas como provar a volta? Será que necessariamente temos que

ϕ ' x = f x ,   ϕ x ⇒ ϕ x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   ϕ t   d t           ?

Para demonstrar que sim, usamos o teorema da existência e unicidade! Vimos que ϕ x é solução da EDO satisfazendo a condição inicial ϕ x 0 = y 0 . Pelo teorema da existência e unicidade, essa solução é única! Portanto, não existem outras soluções e podemos garantir que a solução geral da EDO y ' = f x ,   y satisfazendo y x 0 = y 0 é dada por ϕ x !

Resposta

Demonstração.

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