Suponha que contínua no aberto contido em . Seja definida no intervalo e com gráfico contido em . Seja , com . Prove que , , será solução da equação
e satisfazendo a condição inicial se, e somente se,
Passo 1
Legal, queremos mostrar que é solução da equação diferencial satisfazendo a condição inicial se, e somente se,
Teríamso que provar primeiro que esse satifaz a equação diferencial e a condição inicial. Para ver que satisfaz a codnição inicial é muito fácil:
Como
Temos que
Passo 2
Agora nós derivamos :
Sabemos que e pelo teorema fundamental do cálculo:
Portanto,
Logo, provamos que é uma solução da equação
Passo 3
Com isso, provamos que
Mas como provar a volta? Será que necessariamente temos que
Para demonstrar que sim, usamos o teorema da existência e unicidade! Vimos que é solução da EDO satisfazendo a condição inicial . Pelo teorema da existência e unicidade, essa solução é única! Portanto, não existem outras soluções e podemos garantir que a solução geral da EDO satisfazendo é dada por !
Resposta
Demonstração.