Seja f (x) = sum_(n = 1)^(+ oo) (x^n)/(n !) . Verifique que

int_0^x f ( x ) d x = f (x) - x

Passo 1

Começaremos o problema escrevendo a integral:

int_0^x (x^n)/(n !) d x

Integrando, obtemos:

int_0^x (x^n)/(n !) d x = [(x^(n + 1))/(n ! * (n + 1))] (x)/(0)

Passo 2

Aplicando os limites, temos:

int_0^x (x^n)/(n !) d x = (x^(n + 1))/(n ! * (n + 1)) = (x^n)/((n + 1) !) * x

Comparando:

int_0^x (x + (x^2)/(2) + (x^3)/(6) + (x^4)/(24) + ...) d x = (x^2)/(2) + (x^3)/(6) + (x^4)/(24) + ...

Desse modo, temos que:

int_0^x (x^n)/(n !) d x = (x^n)/((n + 1) !) * x = (x^n)/(n !) - x

int_0^x f ( x ) d x = f (x) - x

Resposta

int_0^x (x^n)/(n !) d x = (x^n)/((n + 1) !) * x = (x^n)/(n !) - x

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