Sejam a n e b n duas sequencias, com a n crescente e b n decrescente, e tais que, para todo natural n, b n - a n ≥ 0 . Suponha ainda que lim n → + ∞ ⁡ b n - a n = 0 . Prove que as sequencias são convergentes e que lim n → + ∞ ⁡ a n = lim n → + ∞ ⁡ b n .

Passo 1

Boom galerinha, vamos continuar?

O que o problema nos disse?

Que a série a n é crescente, ou seja: a n < a n + 1 . E que a série b n é decrescente, ou melhor: b n > b n + 1 .

Como elas são crescentes e decrescente nós dizemos que são monótonas.

Quando a série é monótona e limitada nós dizemos que ela é convergente, se lembram?

Como estas duas séries convergem nós podemos escrever este limite como a soma entre eles:

lim n → + ∞ ⁡ b n - a n = 0

lim n → + ∞ ⁡ b n - lim n → + ∞ ⁡ a n = 0

lim n → + ∞ ⁡ b n = lim n → + ∞ ⁡ a n

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ b n = lim n → + ∞ ⁡ a n

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