Sejam h : I → R e p : I → R como no Exercício 14. Seja g x = h ' ' x h ( x ) + k 2 h x 4 , x ∈ I , onde k > 0 é uma constante real dada. Verifique que a solução da equação y ' ' = g x   y é

y = h x   k 1 e p x + k 2   e - p x

Passo 1

No exercício 14, h era uma função de classe C 2 com h x ≠ 0 para todo x ∈ I e p x é tal que

p ' x = k h x 2 ,         x ∈ I

Nesse problema queremos mostrar que

y x = k 1 h x e p x + k 2 h x e - p x

é solução da EDO

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y

Note que y x é combinação linear das funções h x e p x e h x e - p x . Como a equação diferencial é homogênea de segunda ordem, para mostrar que y x é solução, basta mostrar que cada uma dessas funções ( h x e p x e h x e - p x ) são soluções, pois casos elas sejam, a combinação linear delas será solução!

Além disso, como essas funções são linearmente independentes, provando que y x é uma solução, provamos também que ela é a solução geral da EDO!

Passo 2

Vamos olhar primeiro para y 1 = h x e p x . Derivando uma vez:

y 1 ' = h ' x e p x + h x   e p x ⋅ p ' x = h ' x + h x p ' x e p x

Derivando novamente,

y 1 ' ' = h ' x + h x p ' x ' e p x + h ' x + h x p ' x e p x ⋅ p ' x

Assim,

y 1 ' ' = h ' ' x + h ' x p ' x + h x p ' ' x e p x + h ' x p ' x + h x p ' x 2 e p x

Juntando tudo:

y 1 ' ' = h ' ' x + 2 h ' x p ' x + h x p ' ' x + h x p ' x 2 e p x

Mas como

p ' x = k h x 2

Temos que

p ' ' x = - 2 k h x 3 ⋅ h ' x               e             p ' x 2 = k 2 h x 4

Substituindo na expressão de y 1 ' ' :

y 1 ' ' = h ' ' x + 2 h ' x k h x 2 - 2 h x h ' x k h x 3 + h x k 2 h x 4 e p x

Note que os termos do meio se simplificam, sobrando

y 1 ' ' = h ' ' x + h x k 2 h x 4 e p x

Tirando h x em evidência:

y 1 ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   h x e p x

Mas como y 1 = h x e p x , temos que

y 1 ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y 1

Vemos então que y 1 é solução da EDO!

Passo 3

Vamos fazer o mesmo com y 2 = h x   e - p x :

y 2 ' = h ' x e - p x - h x   e - p x ⋅ p ' x = h ' x - h x p ' x e - p x

Derivando novamente,

y 2 ' ' = h ' x - h x p ' x ' e - p x - h ' x - h x p ' x e - p x ⋅ p ' x

Assim,

y 2 ' ' = h ' ' x - h ' x p ' x - h x p ' ' x e - p x - h ' x p ' x - h x p ' x 2 e - p x

Juntando tudo:

y 2 ' ' = h ' ' x - 2 h ' x p ' x - h x p ' ' x + h x p ' x 2 e - p x

Mas vimos no passo anterior que

2 h ' x p ' x + h x p ' ' x = 0

Assim, os termos do meio se cancelam, sobrando

y 2 ' ' = h ' ' x + h x p ' x 2   e - p x

Vimos também que isso pode ser reescrito como

y 2 ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   h x   e - p x

Ou ainda,

y 2 ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y 2

Portanto, assim como y 1 , y 2 também é solução da EDO! Desta forma,

y x = k 1 y 1 x + k 2 y 2 x

é a solução geral da EDO!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro