Sejam e como no Exercício 14. Seja , , onde é uma constante real dada. Verifique que a solução da equação é
Passo 1
No exercício 14, era uma função de classe com para todo e é tal que
Nesse problema queremos mostrar que
é solução da EDO
Note que é combinação linear das funções e . Como a equação diferencial é homogênea de segunda ordem, para mostrar que é solução, basta mostrar que cada uma dessas funções ( e ) são soluções, pois casos elas sejam, a combinação linear delas será solução!
Além disso, como essas funções são linearmente independentes, provando que é uma solução, provamos também que ela é a solução geral da EDO!
Passo 2
Vamos olhar primeiro para . Derivando uma vez:
Derivando novamente,
Assim,
Juntando tudo:
Mas como
Temos que
Substituindo na expressão de :
Note que os termos do meio se simplificam, sobrando
Tirando em evidência:
Mas como , temos que
Vemos então que é solução da EDO!
Passo 3
Vamos fazer o mesmo com :
Derivando novamente,
Assim,
Juntando tudo:
Mas vimos no passo anterior que
Assim, os termos do meio se cancelam, sobrando
Vimos também que isso pode ser reescrito como
Ou ainda,
Portanto, assim como , também é solução da EDO! Desta forma,
é a solução geral da EDO!
Resposta
Demonstração.