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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 70

Uma série de Fourier finita é dada pela soma

f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x

Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula

a m = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ m x d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos provar que, dada a série de Fourier finita, o termo a m é dado pela formula

a m = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ m x d x

Seja a função

1 π ∫ - π π f x sin ⁡ m x d x

Agora, vamos substituir f ( x ) na serie

1 π ∫ - π π ∑ n = 1 N a n sin ⁡ n x sin ⁡ m x d x = ∑ n = 1 N a n π ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x

Temos que

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x

Passo 2

Vamos analisar os dois casos possíveis:

  1. Se m ≠ n , temos

    2. ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x

    = 1 2 sin ⁡ m - n x m - n - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 0

    Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m - n ) e ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m - n x = 0 e sin ⁡ m + n x = 0

  2. Se m = n , temos

∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ 0 - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 1 - cos ⁡ m + n x d x = 1 2 x - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 1 2 π - 0 - - π - 0 = 1 2 π + π = π

Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m + n x = 0

Passo 3

Então, conseguimos mostrar que para todo m ≠ n , temos que ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 0 e se, e somente se, m = n , ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = π , então, todos os termos do somatório são iguais a zero, exceto a m , então podemos resumir

∑ n = 1 N a n π ∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = a m π ⋅ π = a m

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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