17. Prove que d/dx(cossec⁡x) = -cossec⁡x \* cotg⁡x

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui devemos provar a derivada. Iremos fazer isso, derivando HEHE. Mas para isso, iremos manipular a função pois estamos trabalhando com função trigonométrica.

Podemos reescrever a cossecante como 1 sobre o seno:

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Aplicando a derivada a essa expressão, temos;

d d x cossec ⁡ x = d d x 1 sen ⁡ x

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

d d x cossec ⁡ x = d d x 1 ⋅ sen ⁡ x - d d x sen ⁡ x ⋅ 1 sen ⁡ x 2

A derivada do seno é o cosseno e a derivada de um é zero pois é constante:

d d x cossec ⁡ x = 0 ⋅ sen ⁡ x - cos ⁡ x sen ⁡ x 2

d d x cossec ⁡ x = - cos ⁡ x sen ⁡ x 2

Passo 3

Podemos reescrever a expressão dessa forma:

d d x cossec ⁡ x = - cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ x

d d x cossec ⁡ x = - 1 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x

Das relações trigonométricas podemos observar duas coisas:

1 sen ⁡ x = cossec ⁡ x

e

cos ⁡ x sen ⁡ x = cotg ⁡ x

Então nossa equação fica:

d d x cossec ⁡ x = - cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x

O que prova o que queríamos.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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