Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com E = e , estude as séries a seguir com relação a convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado.

∑ k = 2 + ∞ 1 ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k α

Passo 1

Do critério de Cauchy-Fermat tiramos que, suponha f : [ 1 , + ∞ [ → R contínua, descrecente e positiva, com E > 1 , então

∑ k = 0 + ∞ E k f E k ⟺ ∑ k = 0 + ∞ f k

Assim se a série converge, então nossa integral também é convergente e vice versa.

Observe também que iremos fazer uso dos resultados que obtivemos nos problemas 5 e 6 dessa seção.

Passo 2

Tome que nossa f k é dada por

f k = 1 ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k α

Então vamos tomar como sugerido em nosso problema E = e , então

∑ k = 2 + ∞ f k = ∑ k = 2 + ∞ e k f e k = ∑ k = 2 + ∞ e k ln ⁡ e k ln ⁡ ln ⁡ e k α

Lembre que ln ⁡ e k = k , então

∑ k = 2 + ∞ e k ln ⁡ e k ln ⁡ ln ⁡ e k α = ∑ k = 2 + ∞ e k k   ln ⁡ k α

Legal ... mas essa série é convergente ou divergente?

Vamos mostrar que

e k k ln ⁡ k α > 1 ln ⁡ k α

Ou seja

e k k > 1

E perceba que para k ≥ 2 , temos que a afirmação é verdadeira. Assim temos que a série é maior que

∑ k = 2 + ∞ 1 ln ⁡ k α

E como a série acima é divergente e vimos isso no exercício anterior, então nossa série

∑ k = 2 + ∞ e k k   ln ⁡ k α

diverge, e consequentemente

∑ k = 2 + ∞ 1 ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k α

também diverge.

Resposta

divergente

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