Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com , estude as séries a seguir com relação a convergência e divergência, onde é um real dado.
Passo 1
Do critério de Cauchy-Fermat tiramos que, suponha contínua, descrecente e positiva, com , então
Assim se a série converge, então nossa integral também é convergente e vice versa.
Observe também que iremos fazer uso dos resultados que obtivemos nos problemas e dessa seção.
Passo 2
Tome que nossa é dada por
Então vamos tomar como sugerido em nosso problema , então
Lembre que , então
Legal ... mas essa série é convergente ou divergente?
Vamos mostrar que
Ou seja
E perceba que para , temos que a afirmação é verdadeira. Assim temos que a série é maior que
E como a série acima é divergente e vimos isso no exercício anterior, então nossa série
diverge, e consequentemente
também diverge.
Resposta
divergente