Enunciado

Use o resultado do Exercíco 55 para encontrar o volume do sólido que sobra quando um buraco de raio r / 2 é feito através do centro de uma esfera de raio r e verifique sua resposta por integração.

Passo 1

Bom galera, o nosso volume é dado por essa integralzinha tripla, é mais fácil do que parece:

V = ∫ 0 2 π ∫ R 2 R r 2 ∫ sin 1 ⁡ R 2 r π - sin - 1 ⁡ R 2 r sin ⁡ θ   d θ d r   d ϕ

Passo 2

Belezinha, resolvendo nossa integral de dentro pra fora ficamos com:

4 π 3 3 R 2 4 3 2

= 4 π 3 ⋅ R 3 ⋅ 3 3 8

Logo encontramos o volume:

V = 3 π 3 R 3

Resposta

3 π 3 R 3

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