Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 20

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.

As interseções com eixos, que são os valores de quando e de quando .

Limites no infinito, onde faremos:

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Sendo

Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

Assim, temos que:

Passo 3

Agora devemos definir as intersecções com os eixos!

Para o eixo a interseção é dada por :

Agora, para o eixo fazemos e isolamos o :

Logo a função passa pela origem

Passo 4

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.

(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.

(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Vamos olhar cada caso, tomando temos:

(I)

Assim:

(II)

(III) Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 5

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

Primeiro a assíntota horizontal, ela deverá existir caso:

então a reta

é uma assíntota horizontal da curva .

Se resultar que

então não temos uma assíntota à direita.

Para nossa função, temos:

Assim, não há assíntota horizontal. Bora ver se existe assíntota vertical, sabendo que:

A reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Tomando , temos:

Logo, temos duas assíntotas verticais em .

Passo 6

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente). Derivando temos:

Então, , assim é decrescente em e e crescente em .

Passo 7

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que

Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.

Temos que:

Observamos que a equação é satisfeita para e esse ponto não está definido na função, logo não possui é um ponto crítico; e para , o qual pode ser. Vamos então analisar um ponto antes e depois dele: