Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 20
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Assim, precisaremos encontrar:
O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.
As interseções com eixos, que são os valores de quando e de quando .
Limites no infinito, onde faremos:
Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:
Fazer um estuda da concavidade
E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Então vem ver tudo isso.
Passo 2
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Sendo
Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:
Assim, temos que:
Passo 3
Agora devemos definir as intersecções com os eixos!
Para o eixo a interseção é dada por :
Agora, para o eixo fazemos e isolamos o :
Logo a função passa pela origem
Passo 4
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Vamos olhar cada caso, tomando temos:
(I)
Assim:
(II)
(III) Não possui período.
Logo a função não possui simetria.
Passo 5
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
Primeiro a assíntota horizontal, ela deverá existir caso:
então a reta
é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que
então não temos uma assíntota à direita.
Para nossa função, temos:
Assim, não há assíntota horizontal. Bora ver se existe assíntota vertical, sabendo que:
A reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Tomando , temos:
Logo, temos duas assíntotas verticais em .
Passo 6
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente). Derivando temos:
Então, , assim é decrescente em e e crescente em .
Passo 7
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que
ou
Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.
Temos que:
Observamos que a equação é satisfeita para e esse ponto não está definido na função, logo não possui é um ponto crítico; e para , o qual pode ser. Vamos então analisar um ponto antes e depois dele:
(I)
(II)
(III)
Logo a função descresce antes de e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.
Passo 8
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando .
Se
a função é côncava para cima.
e se
a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
E sua derivada de segunda ordem será:
E se:
Então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e .
Passo 9
Resumindo tudo:
A função passa pela origem
A função não possui simetria
Temos duas assíntotas verticais em
é decrescente em e e crescente em .
A função descresce antes de e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.
é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos
intervalos e .
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Resposta
