Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 48
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Assim, precisaremos encontrar:
O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.
As interseções com eixos, que são os valores de quando e de quando .
Limites no infinito, onde faremos:
Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:
Fazer um estuda da concavidade
E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Então vem ver tudo isso.
Passo 2
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:
Assim, temos que:
Passo 3
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos que:
Logo a função não intercepta os eixos.
Passo 4
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Tomando temos:
(I)
(II)
(III)
Não possui período.
Logo a função não possui simetria.
Passo 5
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
Assíntota horizontal:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Resolvendo o limite aplicando l’Hôspital temos:
Assim, há uma assíntota horizontal em .
Tomando , temos:
Logo, temos uma assíntota vertical em .
Passo 6
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando temos:
Por consequência:
Então, , assim é decrescente em e e crescente em .
Passo 7
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.
Temos que:
Observamos que a equação é satisfeita para e observando o resultado do passo anterior podemos concluir que a função descresce antes de e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.
Passo 8
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função �� côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Então é côncava para cima com no intervalo de e .
Resposta
Esboçando a curva obtemos:
