Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 49
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Temos neste caso que o logaritmo natural não é definido para número negativos, então podemos escrever que:
Assim, temos que:
Passo 2
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos que:
Ou de forma genérica, podemos escrever: , sendo um número inteiro.
Passo 3
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
- Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
- Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
- Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Como a função está definida somente para , os casos i e ii não ocorrem.
Para o caso iii, temos:
, logo a função é períodca com período .
Passo 4
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Temos:
Assim, não há assíntota horizontal .
Tomando , temos:
Tomando , temos:
Logo, temos assíntotas verticais ao longo do eixo em .
Passo 5
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando temos:
Por consequência:
Então, é crescente em e quando e é decrescente em .
Passo 6
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.
Temos que:
Observamos que a equação é satisfeita de forma geral para .Logo a função cresce antes dele e decresce depois dele, sendo então um ponto de máximo.
Passo 7
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Então é côncava para baixo com no intervalo de e não possui concavidade para cima.
Passo 8
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)