Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 57
- Encontre o domínio de
- Encontre e seu domínio.
Passo 1
Olá, amigo. Temos em mãos a função:
E queremos encontrar o seu domínio. O conjunto domínio de uma função é composto de todos os valores para os quais a função está definida;
Então deveremos analisar quais são os valores de que nossa função pode receber, com base nas suas restrições.
Em relação a função inversa de , , por ser a função inversa, o que temos aqui é uma inversão de quem é o domínio e imagem. O que antes era domínio de para ser a imagem de , e o mesmo ocorre para a imagem de , que passa a ser o domínio de .
Para encontrarmos a , deveremos substituir e um pelo outro e isolarmos novamente o .
Passo 2
- Temos que não é definido logaritmo natural para números negativos. Desse modo o domínio será aquele em que o argumento do seja maior que . Assim, podemos escrever que:
- Para calcular a função inversa de , primeiro igualamos .
Aplicando o em ambos os lados:
Com a propriedade de logaritmo, podemos escrever
Logo o domínio é dado pelo intervalo .
Passo 3
Agora isolamos em função de .
Temos então:
Para aproveitar uma propriedade de logaritmos, vamos aplicar em ambos os lados:
Sabe-se que:
Então:
Aplicaremos agora o logaritmo em ambos os lados da equação:
Isolando agora o :
O próximo passo é substituir em :
Assim obtemos nossa função inversa, .
Temos que não é definido logaritmo natural para números negativos. Desse modo o domínio será aquele em que o argumento do seja maior que . Podemos escrever então que:
Essa condição é satisfeita para todo pertencente aos Reais. Assim, o domínio pode ser expresso como:
Resposta
,