Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 20
Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de e encontrar e . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de .
Passo 1
Bom galera, nesse exercício queremos tirar conclusões e estimar propriedades importantes das funções com base em um gráfico previamente feito.
Nós temos a função que é dada por
Vamos usar então um software gráfico para plotar essa função e também as suas derivadas primeira e segunda .
As principais propriedades que queremos estimar são os intervalos de crescimento e decrescimento , valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Da teoria, temos que a função cresce quando sua derivada é positiva
E a função decresce quando sua derivada é negativa
Valores extremos são os máximos e mínimos da função. Temos que eles vão ocorrer quando a primeira derivada trocar de sinal, o que geralmente ocorre quando
Um ponto de máximo vai ocorrer quando a derivada passa de positiva para negativa, o que indica que a função crescia, chegou no máximo e então passa a decrescer.
Um ponto de mínimo ocorre quando a derivada passa de negativa para positiva.
Com relação a concavidade e pontos de inflexão, estes estão atrelados a segunda derivada .
A função é côncava para cima quando a segunda derivada é positiva
E a função é côncava para baixo quando a segunda derivada é negativa
Os pontos de inflexão ocorrem quando a segunda derivada troca de sinal, o que geralmente ocorre em
Bora lá então?!
Passo 2
A nossa função é:
Como temos uma multiplicação entre funções, vamos usar a regra do produto para derivar:
Para derivar a exponencial do arcotangente, vamos usar a regra da cadeia, pois temos uma função composta.
e a derivada do arcotangente é tabelada:
Ajeitando
Colocando a exponencial em evidência, temos:
Resolvendo o MMC para realizar a soma:
Passo 3
Para encontrar a segunda derivada, vamos derivar novamente, agora teremos a regra do quociente:
Além da regra do produto:
Ajeitando tudo isso, você deve chegar na seguinte expressão:
Passo 4
Esboçando os gráficos de , e :
Passo 5
Agora a gente finaliza analisando os gráficos!
Pelos gráficos de e , nós concluímos que a função está decrescendo em
(não esquece que a gente analisa o decrescimento no gráfico de olhando onde ela é menor que zero)
e crescendo em
Há um mínimo local em , que a gente consegue encontrar tanto pela função tanto pensando na derivada.
Como a função decrescia antes de e depois ela cresce, isso indica que é um ponto de mínimo.
Analisando agora o gráfico de , concluímos que a função é côncava para cima em todo o domínio, pois para todos os valores de .
Isso se confirma quando olhamos para o gráfico da função . De fato, ela é côncava para cima e não muda de concavidade.
Não há pontos de inflexão.
Resposta
Intervalo de Decrescimento:
Intervalo de Crescimento:
Ponto de Mínimo:
Concavidade para cima: