Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.8 - Ex. 6
A tabela dá a população da Índia, em milhões, para a segunda metade do século .
(a) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela.
(b) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela. A seguir, use este modelo para prever a população nos anos de 2010 e 2020
(c) Trace ambas as funções exponenciais nas partes (a) e (b) com um gráfico da população real. Estes modelos são razoáveis?
Passo 1
Fala meus queridos, nessa questão nos é dado uma tabela com a população da Indía em Milhões para 6 anos diferentes.
A partir desses dados, nos é pedido para estimar a população da Indía usando o modelo exponencial.
De acordo com esse modelo, podemos dizer que:
Dessa forma, podemos chamar de nossa função população com sendo o tempo em anos a partir do tempo inicial.
Usando as populações dadas na tabela podemos encontrar o parâmetro , e depois com esse parâmetro podemos usar o modelo para estimar as populações em outros anos.
Passo 2
Na letra a), temos:
(a) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela.
Agora precisamos identificar as variáveis do problema. Sabemos que e que o valor de é desconhecido.
Sabemos que em , tomando este como o ano inicial, a população, em milhões, era de , logo, (milhões) e após anos (que é o nosso ) a população é de (milhões) então (milhões). Aplicando esses valores na equação exponencial obtemos o seguinte:
Aplicando o logaritmo natural temos:
Como :
Tendo o valor de é só aplicar à equação exponencial para encontrar o , que seria a população no ano de 2001:
(Milhões)
Podemos ver que esses valores divergem dos valores reais;
Passo 3
Nesse item queremos encontrar:
(b) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela. A seguir, use este modelo para prever a população nos anos de 2010 e 2020
Usando o modelo exponencial temos:
Usando que é a população no ano 1961 e usando que é a população no ano de 1981, temos:
Uma vez que encontramos esse parâmetro, podemos estimar a população no ano de 2001, 2010 e 2020.
Para :
(milhões)
Que é um valor bem mais próximo do real que o obtido anterior.
Agora, para :
(milhões)
Para
(milhões)
Passo 4
(c) Temos as as seguintes funções:
(A)
(B)
Plotando os dados temos o seguinte gráfico:
Como podemos ver, os dados reais estão bem alinhados com à curva verddde, ou seja, à função , isso aponta que é uma boa maneira de estimar a população da Índia em determinado ano.
Resposta
Resolução nos Passos.