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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7a

Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com E = e , estude as séries a seguir com relação a convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado.

∑ k = 2 + ∞ 1 k ln ⁡ k α

Passo 1

Do critério de Cauchy-Fermat tiramos que, suponha f : [ 1 , + ∞ [ → R contínua, descrecente e positiva, com E > 1 , então

∑ k = 0 + ∞ E k f E k ⟺ ∑ k = 0 + ∞ f k

Assim se a série converge, então nossa integral também é convergente e vice versa.

Observe também que iremos fazer uso dos resultados que obtivemos nos problemas 5 e 6 dessa seção.

Passo 2

Tome que nossa f k é dada por

f k = 1 k   ln ⁡ k α

Então vamos tomar como sugerido em nosso problema E = e , então

∑ k = 0 + ∞ f k = ∑ k = 0 + ∞ e k f e k = ∑ k = 0 + ∞ e k e k ln ⁡ e k α

Lembre que ln ⁡ e k α = k α , então

∑ k = 0 + ∞ e k e k ln ⁡ e k α = ∑ k = 0 + ∞ 1 k α

Que é a cara de uma p-série. Lembre-se, p-série é dada por

∑ k = 0 + ∞ 1 k p

Na qual, se p > 1 a série é convergente e para p ≤ 1 a série diverge.

Então temos a mesma condição para α .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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