Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0 .)

x ¨ + 2 x ˙ + x = t + e t ,     x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 0

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar, como indicado no enunciado, a transformada de Laplace como feito nos exemplos do capítulo, lembrando que:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 - f ' 0

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar aplicando a transformada escrevendo o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ x ¨ + 2 x ˙ + x d t = ∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ t + e t d t

Aplicando as definições dadas no passo 1 e a tabela de transformadas de Laplace mostrada no capítulo, vamos ter que nossa equação fica:

s 2 ∫ 0 ∞ e - s t x d t + 2 s ∫ 0 ∞ e - s t x d t + ∫ 0 ∞ e - s t d t = 1 s 2 + 1 s - 1

Ou, melhor escrevendo,

s + 1 2 ∫ 0 + ∞ e - s t x d t = 1 s 2 + 1 s - 1  

chegamos então que:

∫ 0 + ∞ e - s t x d t = 1 s 2 s + 1 2 + 1 ( s - 1 ) s + 1 2 .

Bom, dessa forma ainda não conseguimos descobrir qual a provável solução da nossa EDO pela tabela de transformadas. Vamos então reescrever antes os termos da direita da igualdade como:

1 s 2 s + 1 2 = 1 s 2 - 2 s + 1 s + 1 2 + 2 s + 1

e

1 ( s - 1 ) s + 1 2 = 1 4 s - 1 - 2 2 s + 1 2 + 1 4 s + 1 .

Isso resulta que:

x = - 2 + t + 1 4 e t + 7 4 e - t + 1 2 t e - t .

Pela tabela da transformada de Laplace.

Resposta

x = - 2 + t + 1 4 e t + 7 4 e - t + 1 2 t e - t

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