Verifique que a equação dada é da forma

d y d x = f y x

Utiliza, então, o Exercício 12 para determinar uma família de soluções da equação dada.

a ) d y d x = x 2 + y 2 x y

Passo 1

Começaremos o problema separando a equação:

d y d x = x y + y x

Fazendo:

u = y x

A equação inicial se torna

d y d x = 1 u + u

Aplicando o T e o r e m a   d a   S e ç ã o   10.6 :

d y d x = u + x d u d x = 1 u + u

x d u d x = 1 u

Passo 2

Separando as variáveis:

u   d u = d x x

∫ u   d u = ∫ d x x

Integrando:

u 2 2 = ln ⁡ x

u = 2 ln ⁡ x

Voltando u = y x :

y x = 2 ln ⁡ x

y = x 2 ln ⁡ x

Resposta

y = x 2 ln ⁡ x

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