Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 9
9.
a) Verifique que
Com
Passo 1
Vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois fazendo isso não alteramos o valor da integral, mas isso pode facilitar nosso cálculo. Nesse caso, o termo escolhido será . Assim,
Fazendo a distributiva
Passo 2
Perceba que se nos derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador. Lembrando que e . Vamos chamar o denominador de e derivar.
Derivando com relação a temos
Passo 3
Substituindo o valor de e , obtemos
Podemos cortar os dois termos que são iguais e teremos
Nós sabemos que essa integral é do tipo . Ou seja,
Sabendo que
Passo 4
Lembrando que o módulo presente no Logaritmo é por conta do domínio dessa função apenas assumir valores não nulos e positivos. Vamos observar bem, no nosso caso, para ver se precisamos utilizar o módulo. Lembrando que
Dentro do logaritmo temos o termoVamos arrumar esse termo; lembrando que e . Logo,
Como . Temos que para esse intervalo, e que . Ou seja, como a função seno é maior que menos um para esse intervalo, o numerador será maior que zero sempre. Além disso, o denominador também sempre será maior que zero, já que a função cosseno é maior que zero para esse intervalo. Com isso, temos que o valor dentro do logaritmo sempre será maior que zero. Dessa forma, podemos tirar o módulo. Assim,
Para .
Passo 5
b) Mostre que
Passo 6
Como já mostrado na letra a, o termo que está dentro da integral equivale a
No entanto, como pode assumir qualquer valor tanto a função seno quanto a função seno podem assumir valores entre -1 e 1. Ou seja, podemos ter um valor negativo. Como sabemos, a função logarítmica não pode assumir valores negativos. Assim, o módulo tira os possíveis valores negativos. Logo,