Soma e Produto e Fórmula de Bhaskara

Produzido por Marcelo Luiz
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! Hoje quero te apresentar o método da soma e produto, um caminho muito prático para encontrar as raízes de equações do segundo grau sem precisar calcular delta, fórmula de Bhaskara e todo aquele lero lero.

Veja também

Método da Soma e Produto

Lembre que uma equação do segundo grau tem essa carinha aqui:

A gente costuma padronizar que o coeficiente a multiplica o termo elevado ao quadrado (), o coeficiente b multiplica o termo elevado a 1 () e o c multiplica o termo elevado a zero (como , o coeficiente c fica sozinho).

Uma equação desse tipo pode fornecer até duas raízes reais, não é?

Vamos chamá-las de e .

O método que quero te mostrar diz que as duas raízes da equação obedecem as seguintes relações:

Bora ver um exemplo com números pra deixar isso aí mais claro?

Exemplo: Encontre as raízes da equação x²-7x+12.

Olha só, os nossos coeficientes são:

O método da soma e produto diz que o produto das duas raízes que queremos encontrar é igual a c sobre a.

Beleza, então queremos encontrar dois números reais que, quando multiplicados, resultam em 12. Temos esses carinhas aqui como candidatos às nossas raízes:

Qual será nossa resposta? Descobrimos usando a outra parte do método!

A soma das duas raízes deve ser igual a menos b sobre a.

Não esqueça do jogo de sinais!!!

O raciocínio agora é: dentre os possíveis candidatos que encontramos anteriormente, qual deles também satisfazem essa soma?

A última alternativa satisfaz a soma!
A última alternativa satisfaz a soma!

Os números 3 e 4 satisfazem tanto a soma quanto o produto! Portanto, são as raízes da nossa equação.

Se perdeu em algum momento? Confere esse vídeo aqui, nele te explico tudo isso de um jeito fácil pra você entender 👇

Agora, vamos confirmar nosso resultado pelo método tradicional?

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara nos fornece o meio mais tradicional para encontrarmos raízes de funções do segundo grau. A fórmula é a seguinte:

Pera aê! Que que esse triângulo tá fazendo aí? E aquele mais em cima do menos?

Esse cara é o famoso Delta, pode ir se acostumando com ele 😅 Quanto ao sinal de mais em cima do menos, a gente chama de “mais ou menos”, já te mostro como vamos usá-lo.

Para encontrar esse Delta, usamos essa outra equação aqui:

Então você pode começar pelo cálculo do delta e depois substitui o resultado na outra expressão, ou já pode fazer tudo de uma vez só, fica ao seu critério. Se você quiser, pode juntar as duas equações assim:

Bora tentar aquele mesmo exemplo, dessa vez usando Bhaskara.

Exemplo: Encontre as raízes da equação x²-7x+12 pela fórmula de Bhaskara.

Vou fazer passo a passo pra ficar mais fácil de acompanhar.

Lembrando que:

Começamos pelo delta:

Agora a gente substitui isso aí na outra expressão para encontrar as raízes.

Agora aquele mais ou menos entra em ação, a gente faz isso assim: primeiro considera a soma, depois a subtração.

E assim, chegamos no mesmo resultado de antes!!!

Possíveis Valores de Delta

Isso aqui é um detalhe bem importante. Existem três tipos possíveis para o delta:

1º Caso: .

Esse é como o que achamos no exemplo resolvido acima. Nestes casos, a equação possui duas raízes.

Graficamente, teríamos uma função assim:

Interpretação gráfica do delta positivo.
Interpretação gráfica do delta positivo.

2º Caso: .

Pensa aqui: quando você substituir na fórmula:

Com o delta igual a zero:

A gente só vai ter uma única raiz!

Graficamente, a função tem uma dessas caras aqui:

Interpretação gráfica do delta nulo.
Interpretação gráfica do delta nulo.

3º Caso: .

Dessa vez, quando você for substituir na fórmula, vai se deparar com a raiz quadrada de um número negativo.

Acontece que não existe solução real para esse problemão aí! Então a gente fala que a função não possui raízes reais.

Interpretação gráfica para o delta negativo.
Interpretação gráfica para o delta negativo.

Belezinha? Agora bora praticar bastante pra ficar bem craques nisso aí!

Fórmula de Bhaskara

Possíveis Valores de Delta