Operações com Números Complexos
Teoria
Motivação
Fala aí, como você está? Tudo bem?
Já bebeu água hoje? Se não, corre lá rapidinho... (Sério, me preocupo com você)
Vamos ao que interessa ...
Nesse tópico vamos aprender algumas coisas importantes no que diz respeito aos números complexos: As operações.
Já sabemos como fazer essas operações em todos os outros conjuntos só falta aprendermos a trabalhar com ela no conjunto dos números complexos.
Vamos falar nesse tópico sobre a Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão.
Vamos nessaaaa!
Adição e Subtração
Sabemos que os números complexos sempre vão estar no formato
Onde o é a parte real e o é e a parte imaginária
A ideia é bem simples: Vamos somar e subtrair os semelhantes.
Ou seja, Parte real de um com parte real do outro e parte imaginária de um com parte imaginária do outro.
Por exemplo:
Seja
Vamos fazer
Agora basta juntar os semelhantes
O mesmo vai valer para a subtração...
Vamos trocar os sinais de quem está dentro do parênteses e depois juntar os semelhantes. Assim, ó...
Show?
Multiplicação e Divisão
Vamos a nossa multiplicação...
De cara você vai perceber que usaremos coisas que (muito provavelmente) já vimos antes.
Seja
Fazendo a multiplicação, teremos
Agora basta fazermos a distributiva
Até aí, ok?
Só não esquece do seguinte...
Portanto...
Juntando os semelhantes, temos
Na multiplicação, temos um fato interessante. Toda vez que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado (mesmo número, mas com a parte imaginária tendo sinal trocado), encontramos um número real. Por exemplo:
Lembra dessa ideia porque vamos usá-la em breve, tá?
Agora vamos a divisão, utilizaremos os mesmos números complexos do exemplo anterior. Teremos o seguinte...
Agora, a pergunta que não quer calar é...
COMO VAMOS RESOLVER ISSO?
Se você pensou em “dividir os semelhantes”...
Daí teremos
Certo?
.
.
.
.
Parabéns, você acabou de ERRAR hahahaha
Não podemos fazer isso, porque sempre precisamos pensar na divisão como o inverso da multiplicação. Por exemplo
No entanto, se fizéssemos
Se multiplicássemos
Teríamos
Ok, já deu pra perceber que o resultado disso será BEEEEM diferente de
Como resolveremos isso então?
Na verdade, vamos utilizar uma outra ideia...
Se multiplicarmos uma fração, por uma outra que tenha os mesmos valores no numerador e no denominador, manteremos a nossa fração inicial. Por exemplo:
Mas por que isso é importante?
Porque poderemos reescrever a nossa divisão transformando o nosso denominador em um número real... Mas como faremos isso?
Usando o CONJUGADO do denominador.
Da seguinte forma...
É isso que vamos fazer toda vez que quisermos fazer uma divisão... Vamos achar o conjugado do nosso denominador e depois vamos multiplicar o numerador e o denominador por ele. Tranquilo, né?
Potências de
Pra fecharmos esse nosso papo, vamos falar sobre o nosso amigão imaginário, isso mesmo... O nosso “”. Já sabemos que ...
Mas quanto vale ou?
Difícil saber?
Calma, vamos pensar nisso um pouco mais devagar
E assim por diante...
Você deve ter percebido que sempre teremos os mesmos valores aparecendo, mas pra facilitar o nosso trabalho, vamos pensar no seguinte: Pelo cálculo que fizemos , ou seja, sempre vai compensar colocar nosso expoente em função do 4, como assim?
Vamos calcular aquelas potências que vimos no início...
Primeira coisa que vamos fazer é dividir o é o nosso expoente por . Fica assim, ó...
Ou seja, podemos escrever o como
Sendo assim,
De modo geral, basta você dividir o expoente por 4 e o valor que você encontrar no resto, será o novo expoente.
Show?
Agora #PartiuExercicios
Multiplicação e Divisão
Potências de i
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
IFAL 2018 (adaptada)
Qual o quociente entre os números complexos e ?
Passo 1
FAAAAALA AÍ!
Queremos determinar o quociente desses dois números complexos: e
Ou seja, queremos
Para isso a primeira coisa que vamos fazer é calcular o conjugado do denominador
Passo 2
Pra finalizar, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo nosso conjugado...
Resposta
Exercício Resolvido #2
Unisc 2017 (adaptada)
Qual é a parte real do número complexo ?
Passo 1
Temos o seguinte complexo
Primeira coisa que vamos fazer é determinar aquela potenciação que aparece ali
Beleza, agora precisamos encontrar o conjugado do denominador
Passo 2
Pra finalizar, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo nosso conjugado...
Ou seja,
A parte real do nosso complexo é .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Pucsp 2018 (adaptada)
Considere os números complexos , e com e números inteiros. Sabendo que Qual o valor de ?
Passo 1
Temos os seguintes números complexos
, e
O enunciado também nos dá que
Vamos então substituir os valores dados ...
Juntando os semelhantes, temos
Para que um número complexo seja igual a zero, precisamos que tanto a parte real quanto a parte imaginária sejam iguais a zero.
Ou seja
Passo 2
Agora precisamos resolver esse sistema que apareceu pra gente
Da primeira expressão, temos
Substituindo, teremos
Sendo assim
Podemos dizer que
Passo 3
O enunciado nos pede para calcularmos
Vamos primeiro fazer a nossa divisão
Teremos então
Ou seja
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uece 2017 (adaptada)
Se é o número complexo cujo quadrado é igual a então, qual o valor de
Passo 1
A primeira coisa que faremos é dividir os expoentes das potências do por para descobrirmos qual o resto deixado. Vamos nessa?
Beleza, mas no que isso adianta a gente?
Passo 2
Poderemos escrever
Da seguinte forma
Como podemos afirmar que: , teremos
Resposta
Exercício Resolvido #5
Efomm 2018 (adaptada)
Qual será o valor de ?
Dado que e
Passo 1
Já sabemos que
Depois disso, vimos que a gente repete a mesma sequência de números do
Se somarmos esses valores, teremos
Isso mesmo, de 4 em 4 essa soma vai dando zero.
O último elemento dessa sequência é
Maaas, pera aí
Vamos refletir,
Ou seja,
O último elemento da série vai ser o
Beleza, mas no que isso adianta a gente?
Passo 2
A nossa série está da seguinte forma
No entanto toda essa parte aqui, se anula
Portanto, toda essa soma será igual ao que sobrou ali, portanto