Resolução de sistemas lineares com 2 e 3 incógnitas

Produzido por Marcelo Luiz
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Sistemas com duas incógnitas

E aí minha gente! Já vimos o que é um sistema linear com duas incógnitas, um exemplo é:

Mas como que encontramos o resultado desse sistema? Hehe é isso que vamos ver Existem vários métodos para resolver, os mais usados são :

  • Método da adição
  • Método da Substituição

Então, vamos aprender essas duas.

Método da adição

A ideia vai ser a gente somar as equações do nosso sistema, e quando fazemos essa soma, uma das incógnitas vai sumir (ou zerar). MAAAS COMOO???

Ai que surge a gambiarra hehe, nós vamos multiplicar uma das equações por um número estratégico, esse número vai nos ajudar a zerar uma incógnita quando fizermos a adição. Vamos pensar no nosso exemplo:

Já vimos que a ideia desse método é somar as duas equações para que elas virem uma só, e fazendo isso, uma das incógnitas vai sumir ou zerar.

Se escolhermos zerar a incógnita x , vamos olhar para segunda equação onde temos 4 x , e pensar “ que número que se eu somar com ele eu obtenho 0?”

Podemos pensar no - 4 x , por que assim vamos ficar com

4 x - 4 x = 0

Mas aí, tu olha pra primeira equação e percebe que em vez de você ter um - 4 x , você tem um 2 x . Pronto, esse é o momento exato pra usar nossa gambiarra, vamos novamente pensar, “que número eu multiplico a primeira equação, para ter um -4x?”

Se multiplicarmos a primeira equação por - 2 , conseguimos ter o nosso - 4 x . Então vamos fazer isso:

Lembrando que estamos multiplicando a equação TODA, ou seja, todos os membros.

Fazendo isso finalmente chegamos no - 4 x que queríamos

Agora é só somar as duas equações:

Agora, ficamos só com a equação : 4 y = 28

Resolvendo, temos que:

y = 7

Depois que descobrimos o valor de uma das incógnitas, é só substituir o valor em uma das duas equações, vamos substituir o valor de y na primeira:

Agora é só resolver essa outra equaçãozinha:

- 4 x + 14 = - 6

Assim x = 5 .

Nossa solução é:

(   5,7 )

Então, é só seguir esses passos que é sucesso:

  • 1º Passo: Escolher qual incógnita você vai zerar
  • 2º Passo: Pensar em um número para multiplicar uma das equações com o intuito de na hora que somar zerar uma das incógnitas.
  • 3º Passo: Multiplicar pelo número escolhido e somar as equações
  • 4º Passo: Resolver a equação e depois substituir o valor encontrado em uma das equações do sistema.

Método da Substituição

Esse método é o seguinte: escolhe uma equação e isola uma incógnita, depois substitui o valor que você encontrou na outra equação. Vamos pegar o nosso sisteminha:

Na primeira equação, vamos isolar uma variável, pode ser o x   ou o y , vamos escolher o y :

Agora que temos que o valor de y = - 3 + 2 x , vamos substituir isso na segunda equação:

Assim, ficamos com a equação:

4 x - 6 + 4 x = 34

8 x - 6 = 34

Resolvendo, temos que x = 5 . Depois de descobrir o valor da variável x, voltamos na que isolamos e resolvemos:

Assim, temos que y = 7 . Nossa solução é:

(   5,7 )

É isto, então o método da substituição possui os seguintes passos:

  • 1º Passo: Isolar uma incógnita de uma das equações
  • 2º Passo: Substituir a expressão encontrada na outra equação.
  • 3º Passo: Resolver as equações.

Escalonamento- sistema linear com três incógnitas

Belezinha, já aprendemos duas maneiras de como resolver um sistema linear com duas variáveis (ou incógnitas), mas e quando temos 3 ? Existem vários métodos, mas o mais utilizado é o escalonamento. O escalonamento está ligado com escada hehe, você vai pegar seu sistema todo cheio, como esse:

E deixar ele assim:

Sim, esses sistemas são equivalentes. Ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Beleza, mas como fazer isso? Existem 4 coisinhas que você pode fazer no seu sistema, e você vai usar elas ao seu favor:

  1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
  2. Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
  3. Trocar duas equações de posições entre si;
  4. Multiplicar uma das equações por um número e somá-la ou subtraí-la a outra;

Então, você vai pegar seu sistema, usar suas ferramentas e deixar ela no formato de escada. Assim, vamos fazer o passo a passo de como escalonar esse sistema:

1º Passo: escolher uma das equações e deixar ela como a primeira equação do seu sistema.

DICA: Escolha sempre a que têm os coeficientes que multiplicam as incógnitas, com os valores mais baixos.Nesse caso, vamos escolher a primeira equação mesmo. Então, não vamos trocar nenhuma equação de lugar.

2º Passo: Vamos zerar a primeira incógnita, nesse caso o x, ou seja, nós queremos zerar essa parte:

Para isso, vamos usar nossas ferramentas, nós podemos multiplicar uma equação por um número e somar na outra. Sempre vamos multiplicar a equação que escolhemos no passo 1, por um número que vai cancelar o x nas outras equações. Então bora lá! Na segunda equação temos: 2 x + 5 y + 3 z = 7

Nós queremos que o 2 x   desapareça, então precisamos somá-lo com um - 2 x , porém na primeira equação, nós temos só x . Por isso, vamos multiplicar a primeira linha por - 2 e depois vamos somar com a segunda

  • Multiplicando por - 2 :
  • Essa multiplicação vai ser só imaginária, a linha vai continuar como antes. Agora vamos somar essa equação na segunda:

    Agora vamos olhar para a terceira equação:

    - x + 2 y + 3 z = 10

    Temos um – x , para zerar precisamos de um x, e já temos isso na primeira equação, então vamos só somar:

    3º Passo: Pronto, a próxima parte da escada que vamos precisar zerar vai ser, ou seja tirar a variável y da última equação.

    Mas não vamos usar mais a primeira equação, se usarmos ela, o x vai voltar e não queremos isso. Então, vamos usar a segunda equação. Na terceira equação temos:

    3 y + 4 z = 10

    Para zerar o y , precisamos somar um - 3 y , nessa equação. A segunda equação tem 3 x , então vamos multiplicá-la por - 1 e somar na última :

  • Multiplicando por - 1

Agora somando:

E com isso, você acabou de fazer seu primeiro sistema escalonado, para encontrar os valores é só ir resolvendo as equações e quando encontrar um valor substitui na outra de baixo para cima. Da última equação temos que:

3 z = 3     ⇒ z = 1

Agora sabendo que z = 1 , subimos para a segunda equação e colocamos seu valor lá :

3 y + z = 3 y + 1 = 7     ⇒ y = 2      

E agora vamos para a primeira equação: x + y + z = 0

x + 2 + 1 = 0   ⇒   x = - 3      

Assim, temos que a solução da nossa equação é:

( - 3 ,   2,1 )

Essa é a ideia do escalonamento, para três incógnita sempre fazemos na mesma sequência, usamos a primeira equação para cancelar a variável x   das outras duas equações, depois usamos a segunda para zerar o y da terceira.

Agora partiu exercícios!

Método da Substituição

Escalonamento- sistema linear com três incógnitas