Resolução de sistemas lineares com 2 e 3 incógnitas
Produzido por Marcelo LuizTeoria
Sistemas com duas incógnitas
E aí minha gente! Já vimos o que é um sistema linear com duas incógnitas, um exemplo é:
Mas como que encontramos o resultado desse sistema? Hehe é isso que vamos ver Existem vários métodos para resolver, os mais usados são :
- Método da adição
- Método da Substituição
Então, vamos aprender essas duas.
Método da adição
A ideia vai ser a gente somar as equações do nosso sistema, e quando fazemos essa soma, uma das incógnitas vai sumir (ou zerar). MAAAS COMOO???
Ai que surge a gambiarra hehe, nós vamos multiplicar uma das equações por um número estratégico, esse número vai nos ajudar a zerar uma incógnita quando fizermos a adição. Vamos pensar no nosso exemplo:
Já vimos que a ideia desse método é somar as duas equações para que elas virem uma só, e fazendo isso, uma das incógnitas vai sumir ou zerar.
Se escolhermos zerar a incógnita , vamos olhar para segunda equação onde temos , e pensar “ que número que se eu somar com ele eu obtenho 0?”
Podemos pensar no , por que assim vamos ficar com
Mas aí, tu olha pra primeira equação e percebe que em vez de você ter um , você tem um . Pronto, esse é o momento exato pra usar nossa gambiarra, vamos novamente pensar, “que número eu multiplico a primeira equação, para ter um -4x?”
Se multiplicarmos a primeira equação por , conseguimos ter o nosso . Então vamos fazer isso:
Lembrando que estamos multiplicando a equação TODA, ou seja, todos os membros.
Fazendo isso finalmente chegamos no que queríamos
Agora é só somar as duas equações:
Agora, ficamos só com a equação :
Resolvendo, temos que:
Depois que descobrimos o valor de uma das incógnitas, é só substituir o valor em uma das duas equações, vamos substituir o valor de y na primeira:
Agora é só resolver essa outra equaçãozinha:
Assim .
Nossa solução é:
Então, é só seguir esses passos que é sucesso:
- 1º Passo: Escolher qual incógnita você vai zerar
- 2º Passo: Pensar em um número para multiplicar uma das equações com o intuito de na hora que somar zerar uma das incógnitas.
- 3º Passo: Multiplicar pelo número escolhido e somar as equações
- 4º Passo: Resolver a equação e depois substituir o valor encontrado em uma das equações do sistema.
Método da Substituição
Esse método é o seguinte: escolhe uma equação e isola uma incógnita, depois substitui o valor que você encontrou na outra equação. Vamos pegar o nosso sisteminha:
Na primeira equação, vamos isolar uma variável, pode ser o ou o , vamos escolher o :
Agora que temos que o valor de , vamos substituir isso na segunda equação:
Assim, ficamos com a equação:
Resolvendo, temos que . Depois de descobrir o valor da variável x, voltamos na que isolamos e resolvemos:
Assim, temos que . Nossa solução é:
É isto, então o método da substituição possui os seguintes passos:
- 1º Passo: Isolar uma incógnita de uma das equações
- 2º Passo: Substituir a expressão encontrada na outra equação.
- 3º Passo: Resolver as equações.
Escalonamento- sistema linear com três incógnitas
Belezinha, já aprendemos duas maneiras de como resolver um sistema linear com duas variáveis (ou incógnitas), mas e quando temos ? Existem vários métodos, mas o mais utilizado é o escalonamento. O escalonamento está ligado com escada hehe, você vai pegar seu sistema todo cheio, como esse:
E deixar ele assim:
Sim, esses sistemas são equivalentes. Ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Beleza, mas como fazer isso? Existem 4 coisinhas que você pode fazer no seu sistema, e você vai usar elas ao seu favor:
- Somar ou subtrair uma equação pela outra;
- Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
- Trocar duas equações de posições entre si;
- Multiplicar uma das equações por um número e somá-la ou subtraí-la a outra;
Então, você vai pegar seu sistema, usar suas ferramentas e deixar ela no formato de escada. Assim, vamos fazer o passo a passo de como escalonar esse sistema:
1º Passo: escolher uma das equações e deixar ela como a primeira equação do seu sistema.
DICA: Escolha sempre a que têm os coeficientes que multiplicam as incógnitas, com os valores mais baixos.Nesse caso, vamos escolher a primeira equação mesmo. Então, não vamos trocar nenhuma equação de lugar.
2º Passo: Vamos zerar a primeira incógnita, nesse caso o x, ou seja, nós queremos zerar essa parte:
Para isso, vamos usar nossas ferramentas, nós podemos multiplicar uma equação por um número e somar na outra. Sempre vamos multiplicar a equação que escolhemos no passo 1, por um número que vai cancelar o nas outras equações. Então bora lá! Na segunda equação temos:
Nós queremos que o desapareça, então precisamos somá-lo com um , porém na primeira equação, nós temos só . Por isso, vamos multiplicar a primeira linha por e depois vamos somar com a segunda
- Multiplicando por :
- Multiplicando por
Essa multiplicação vai ser só imaginária, a linha vai continuar como antes. Agora vamos somar essa equação na segunda:
Agora vamos olhar para a terceira equação:
Temos um , para zerar precisamos de um x, e já temos isso na primeira equação, então vamos só somar:
3º Passo: Pronto, a próxima parte da escada que vamos precisar zerar vai ser, ou seja tirar a variável da última equação.
Mas não vamos usar mais a primeira equação, se usarmos ela, o vai voltar e não queremos isso. Então, vamos usar a segunda equação. Na terceira equação temos:
Para zerar o , precisamos somar um , nessa equação. A segunda equação tem , então vamos multiplicá-la por e somar na última :
Agora somando:
E com isso, você acabou de fazer seu primeiro sistema escalonado, para encontrar os valores é só ir resolvendo as equações e quando encontrar um valor substitui na outra de baixo para cima. Da última equação temos que:
Agora sabendo que , subimos para a segunda equação e colocamos seu valor lá :
E agora vamos para a primeira equação:
Assim, temos que a solução da nossa equação é:
Essa é a ideia do escalonamento, para três incógnita sempre fazemos na mesma sequência, usamos a primeira equação para cancelar a variável das outras duas equações, depois usamos a segunda para zerar o da terceira.
Agora partiu exercícios!