Binômio de Newton
Produzido por Erick PinhoTeoria
Introdução
FAAAAAALA AÍ, MESTRE DOS POLINÔMIOS! Hahahaha Cara, eu encho muito a sua bola!
Seguinte, vou começar te mostrando a motivação dessa teoria. Já estamos cansados de ver potências do tipo:
“Af, Paula! Já estou exaustx de ver isso, sei de cor!”
Eu sei, meu anjo. Porém, suponha que eu te peça para desenvolver essa potência:
Eita, agora complicou né?
Para isto temos o nosso Binômio de Newton, para nos ajudar a expandir potências dessa forma:
Números Binomiais
Antes de eu te dar aquela fórmula marota, bora ter uma noção do que é um número binomial (bonito, né? Me acho quando falo isso hahaha).
É o seguinte, este termo está muito ligado à combinatória, que é um assunto futuro! Embora você ainda não tenha aprendido, já deve ter ouvido falar em “ escolhe ”. Essa frase é matematicamente representada desse jeito:
Onde e :
Onde
Se liga, que usaremos isso daqui a pouco!
Termo Geral
Primeiramente, quero te mostrar novamente os seguintes produtos notáveis:
Perceba que a nossa potência é e a quantidade de termos é . E ainda:
Note que a potência é e a quantidade de termos é .
Portanto, podemos notar que quando temos uma potência da forma , teremos termos. Legal, só queria que você visse essa observação, não só engolisse.
Não entrarei em detalhes, mas
Olha só! Apareceu nosso número binomial!
Bom, essa fórmula serve para ... E se você se deparar com ?
“Eu choro!”
Bobx você! Repare que:
Bora substituir isso na fórmula:
Pronto, chegamos na fórmula! Perceba que tem não problema você esquecer a próxima, é só pensar desse jeitinho!
Triângulo de Pascal
ANJOOO, já te adianto que esse subtítulo é apenas para ajudar você! Não precisa se matar para se dar bem com isso, afinal, você não é obrigado a usar o Triângulo de Pascal.
“Para que usamos?”
Bom, a gente usa para pegar os coeficientes das nossas potências. Vamos construí-lo e daí eu te mostro exemplos.
Eu particularmente gosto muito dele, a gente constrói da seguinte forma. Primeiro, você começa com o número :
Essa é a primeira linha. Lembre-se: a linha tem termos.
Essa linha tem o coeficiente de
Vamos para a segunda linha, sabendo que o primeiro e o último termo de cada linha são o número :
Essa última linha que construímos tem os coeficientes de
E agora, a gente constrói os termos! Dessa forma:
Então:
Essa última linha que construímos agora tem os coeficientes de
Bom, já temos linhas, olha a quarta:
Adivinha só? A última linha tem os coeficientes de
Perceba que:
Como deveria ser! Olha a quinta linha:
Esta possui os coeficientes de
E a sexta:
Esta possui os coeficientes de
Você pode sair fazendo quantas linhas você precisar!
Soma dos Coeficientes
Vamos supor que te pedem o seguinte numa questão:
Você pode expandir isso pela fórmula, pode usar o Triângulo de Pascal também, mas eu vou te dar uma dica que vai te ajudar muito nesse tipo de questão: basta chamar esse binômio de e calcular .
“De onde você tirou isso?”
Se liga, você já é mestre dos polinômios, então vou colocar aqui embaixo a forma geral de um polinômio:
Se substituímos :
Olha que lindo, temos justamente a soma dos coeficientes!!! Então, fica a dica!
No nosso caso:
Então a soma dos coeficientes é .