Equação de círculos, hipérboles e parábolas

Circunferência

É a seção horizontal, ou seja, se a gente cortar o cone com um plano horizontal a parte do cone que tocou o plano é uma circunferência, como na figura:

A equação geral da circunferência é dada por:

Sendo o ponto que representa o centro e o raio dessa circunferência. Tipo assim:

Daí, se a circunferência estiver centrada na origem, ou seja, a equação da circunferência será dada por:

Elipse

Uma elipse é meio que uma circunferência esticada em um dos eixos. Esse “esticamento” é feito a partir da rotação do plano que corta o cone em um pequeno ângulo, como na figura abaixo:

A equação da elipse é dada por:

Sendo novamente o centro da circunferência e o tamanho dos semieixos horizontais e verticais respectivamente da elipse.

Obs: Se , teremos uma elipse “deitada”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo . Já no caso de , teremos uma elipse “em pé”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo . Se teremos uma circunferência. :D

Bizus de como identificar uma elipse:

Existem algumas formas de se escrever a equação de uma elipse, porém para identificar que é uma elipse temos que SEMPRE transformar a equação dada em algo do tipo .

Pra chegar na equação da elipse, devemos ter o lado direito da igualdade igual a 1, então bora dividir os dois lados por 36.

Que é uma elipse de semieixo maior e semieixo menor .

Ah, aqui podemos substituir o por pra ficar mais a cara da equação que aprendemos.

Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:

Passando tudo pra um lado só, teremos:

Aí que vem o pulo do gato. Podemos somar 2 os dois lados e teremos...

Mas como temos que deixar o lado direito da igualdade como 1 , devemos dividir os dois lados por 2, logo:

Ou melhor:

E pra esboçar, vamos ter uma elipse de , deslocada no eixo na posição .

Mas tá, então, vamos ter uma elipse completa com essas características né?

Só que não! Lááá em cima teve um passo em que a gente viu que a gente passou de para . Se a gente tirasse a raiz de novo dessa segunda expressão nós teríamos:

Aí sim, essa expressão nos daria uma elipse completa, porém o que o enunciado nos deu só representa a parte positiva de , logo o nosso gráfico será:



Parábola

A parábola é uma curva que a gente já conhece melhor desde o ensino fundamental que é a curva de uma equação de segundo grau, certo? Ela nada mais nada menos é que um corte no cone feito da seguinte forma:



A equação das parábola é bem simples, e como falei, a gente já sabe bem como elas são escritas desde o ensino fundamental, as equações do 2° grau. A parada é que aqui também poderemos escrevê-las deitadas. Saca só!

Equação Geral para uma parábola “em pé”:

Tá, mas como vou desenhar a parábola a partir desta equação?

Aqui a gente vai fazer um sisteminha , onde os nossos coeficientes serão , [confia em mim]:

Sendo a posição do vértice da parábola e uma característica da parábola, (que aqui não vamos abordar muito, utilizaremos apenas para achar os valores de ).

Se a parábola estará com concavidade voltada para cima, se estará com a concavidade voltada para baixo, como mostrado nas figuras da esquerda e da direita respectivamente.



Equação Geral para uma parábola “deitada”:

Daí, teremos que:

Com as mesmas especificações dadas para o caso de parábola “em pé”.

Nesse caso, que se a parábola terá concavidade voltada para direita, e se a parábola estará voltada para a esquerda, como na figura abaixo:



Um exemplo de como fazemos isso? Se liga aí!

Plotar o gráfico da função .

A gente já sabe que pode substituir o por , né?

Daí aqui temos que:

Show?

Agora utilizamos o sisteminha lá:

Logo, .

Logo,

Logo,

Ah, também podemos ver que essa expressão tem duas raízes, . Para nos ajudar no esboço do gráfico podemos representar essas raízes também. Logo o gráfico será algo do tipo:



Hipérbole

A hipérbole talvez seja o gráfico que desses você menos ouviu falar. Ela é o corte do cone dado na seguinte posição:



Como vimos aí, agora o plano corta duas vezes o cone em cima e embaixo.

A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, com apenas um detalhe, uma das partes tem sinal de menos, ou seja:

Ou

No 1° caso, teremos uma hipérbole centrada no eixo horizontal, ou seja, a expressão que contém o é positiva.



No 2° caso, teremos uma hipérbole centrada num eixo vertical, ou seja, a expressão que contém o é positiva.



Tá, mas como é que eu vou esboçar essas hipérboles?

Simples!



Após aquela equação montada vamos ter o centro da hipérbole no ponto . Ah, o centro é exatamente a metade da distância entre os vértices das duas folhas da hipérbole.

Se a hipérbole for do tipo centrada no eixo horizontal, ou seja, você vai pegar o ponto e andar pra esquerda e pra direita, de forma que os vértices serão em se mantendo na posição de



Logo os vértices serão .

Já para as hipérboles centradas na vertical a parada será o contrário. Elas também serão centradas em , porém seus vértices serão no eixo vertical, dado por:

Bizu dos bizus: Como que figura representa a minha equação:

• Parábola: Sempre um OU o OU o estará ao quadrado e não os dois.
• Elipse: Os coeficientes que multiplicam e são diferentes mas sempre positivos.
• Circunferência: Os coeficientes que multiplicam e são iguais e sempre positivos.
• Hipérbole: Um dos coeficientes que multiplicam OU são negativos, mas não os dois.

E é isso aí, pessoal! Oh, nos exercícios vou mostrar melhor como tudo isso é cobrado. #PartiuPassar.