Equação logarítmica
Teoria
O logaritmo
O logaritmo está intimamente ligado a exponencial. O log a seguir:
Remete a seguinte pergunta:
(base) elevado a qual número tem como resultado ?
A resposta para essa pergunta é , pois . Portanto:
Essa base no log é bastante comum, de maneira que muitas vezes ela é ocultada, ficando somente:
Quando você ver um log com base oculta, lembre-se que é base . Outras bases estarão especificadas, como:
O logaritmo natural
Assim como a base , existe um outro logaritmo de base bem recorrente no estudo do log. Trata-se do log de base , ou seja, o log com base igual ao número de Euler, como:
Poxa, escrever isso é bem feio, então usamos sempre outra notação quando a base é o :
Onde o ln é o logaritmo natural, ou simplesmente o log de base .
Propriedades do log
Temos diversas propriedades para o log que aparecem independente de sua base, são elas:
Já que elevado a é . Qual número que elevado a (base) tem como resultado ? .
Já que elevado a é . Qual número que elevado a (base) tem como resultado ? .
Além desses valores padrões, temos que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:
O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:
E temos também a regra do peteleco. Damos um peteleco no expoente para ele cair multiplicando o logaritmo:
Temos também a mudança de base:
Equação logarítmica
A partir disso tudo, podemos falar das equações logarítmicas. Para resolver, a ideia é colocar tudo na mesma base ou tentar cortar o log usando suas propriedades. Vamos ver como isso fica?
Tá, mas qual como transformar esse zero num log de base ? É simples, só lembrar das propriedades:
Então:
E podemos escrever:
Uma vez que está tudo na mesma base, podemos “cortar” o log:
Essa é a solução do problema:
Usamos o cortar com aspas, porque esta não é uma operação matemática rígida, trata-se de um atalho que tomamos para as situações propostas.
Podemos ter situações, onde aparece logs em base diferente, como:
Não dá para “cortar”, tem que estar tudo na mesma base antes. Aí, uma vez que o objetivo é colocar tudo na mesma base, usamos a propriedade de mudança de base para nos ajudar. Vamos colocar o log de base na base :
Como , já que ...
Agora é só substituir a lindeza:
Tudo tem que estar dentro do log para podermos “cortar”, então usamos a propriedade da potência para jogar a fração para dentro do log:
Assim:
Podemos finalmente “cortar”:
Elevando os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz:
Ou seja:
Será?? Temos um problema aí!
Condições de existência
Veja que quando substituímos na equação:
Agora te perguntamos: elevado a qual número dá zero? Da mesma maneira, elevado a qual número dá zero? A verdade é que podemos chegar cada vez mais perto de zero, mas não chegaremos em zero para valores finitos. Dessa maneira, não existe para nenhuma base!
Isso significa que não é solução da equação, pois leva a :
Já que é o único valor válido. Além do log de zero não existir, também não há log de número negativo. Olhe novamente para a pergunta do log:
elevado a qual número dá negativo? é uma base maior que zero, como toda base do log, por definição. Elevar a alguma coisa é multiplicá-lo por ele mesmo algumas vezes. Não dá para multiplicar um número por ele mesmo e chegar num resultado negativo, dessa maneira, também não existe log de número negativo!
Quando chegarmos ao resultado da equação que surge ao cortamos o log, depois temos sempre que substituir seu valor para ver se não aparece um log de zero ou negativo. Se isso acontecer, esse valor não fará parte do conjunto solução do problema. Fique atento a isso!
com e , existe se e somente se:
Propriedades do log
Equação logarítmica
Condições de existência
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Resolva:
Passo 1
Tudo já está na mesma base, só precisamos simplificar. Para tal, só lembrar da propriedade:
Logo:
Passo 2
Uma vez que está tudo na mesma base e simplificado, podemos igualar os logaritmandos (o que está dentro do log):
Passo 3
Precisamos verificar se esse valor não viola as condições de existência:
Como os logaritmandos são sempre positivos, não viola as condições de existência e está tudo ok com nossa solução!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Resolva a equação .
Passo 1
Primeiramente, podemos perceber que:
Já que
Passo 2
Continuando o cálculo:
Resposta
Exercício Resolvido #3
AV1 Estácio de Sá
As indicações e na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela formula
Em que e medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a e outro correspondente a . Calcule a razão .
Passo 1
Vamos começar substituindo o valor do
Passo 2
Agora vamos escrever a razão e usar a operação inversa do logaritimo que é exponenciação
Lembre que :
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Resolva:
Dica: e
Passo 1
Usando a regra do peteleco, temos:
Qual número que elevado a dá ? A raiz, ou seja, . Portanto:
Ficando:
Usando a regra do peteleco novamente:
Ou seja, podemos reescrever a equação do problema na forma:
Passo 2
Conseguimos reduzir o problema a uma equação de segundo grau que se resolve por Bhaskara:
Logo, as raízes serão:
Como inicialmente o está sempre no expoente e a exponencial é sempre positiva, não haverá violação das condições de existência.