Teoria

Introdução

As equações hiperbólicas podem assustar bastante assim de cara, sem nem dar um “oi”, mas, calma, você verá que elas são simpáticas.

Seno e cosseno hiperbólicos e companhia

Antes de falar das equações em si, vamos falar do seno e cosseno hiperbólico. Eles, em geral, aparecem com a seguinte forma: senh ⁡ x cosh ⁡ x

A primeira coisa a falar é que você não deve confundi-los com:

sen ⁡ h x cos ⁡ h x

Esses últimos são o seno e cosseno trigonométricos com argumento h x e não são iguais ao seno e cosseno hiperbólico.

Por trás do rompante, as hiperbólicas são relações recorrentes envolvendo exponenciais:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Assim, já dá para concluir algumas coisas, como:

senh ⁡ 0 = 0 cosh ⁡ 0 = 1

Só substituindo o x pelo zero na fórmula da exponencial. Repare que é o mesmo resultado esperado para o seno e o cosseno trigonométrico nesse caso.

Quanto àquela relação fundamental dos quadrados, o sinal muda para os hiperbólicos:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Apresentados? Agora vamos para os parentes:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

É a mesma analogia das relações trigonométricas. Viu só? As hiperbólicas não são difíceis e nem diferentes do que você já viu até agora.

Aplicando as identidades

Vamos ver agora os problemas que cobram identidades hiperbólicas. Como:

Ache senh ⁡ x se:

cosh ⁡ x = - 4

Nesse caso, basta lembrar que:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

E substituir o valor dado:

- 4 2 - senh 2 ⁡ x = 1 ⟹ - senh 2 ⁡ x = 1 - 16

senh 2 ⁡ x = 15 ⟹ sinh ⁡ x = ± 15

Viu? Para identificar esse tipo de problema, repare que é pedido o valor de uma hiperbólica dado outra.

As equações

Agora que a gente já viu o que são e habitam as hiperbólicas, vamos falar de equações que as envolvem. O segredo para resolver essas equações é aplicar a definição!

Pense com a gente no seguinte problema:

tanh ⁡ x = 1

Qual o valor de x ? Vamos aplicar a definição para saber! Lembra que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então:

tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x = 2

Ficamos agora com uma equação exponencial! Vamos tentar simplificar as coisas:

e x - e - x = 2 e x + 2 e - x ⟹ 2 e x = 3 e - x

Aplicando ln dos dois lados, “cortamos” a exponencial:

ln ⁡ 2 e x = ln ⁡ 3 e - x ⟹ ln ⁡ 2 + ln ⁡ e x = ln ⁡ 3 + ln ⁡ e - x

ln ⁡ 2 + x = ln ⁡ 3 - x ⟹ 2 x = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Finalmente:

x = 1 2 ln ⁡ 3 2

Legal? Exercícios agora!

Aplicando as identidades

As equações