Equações Hiperbólicas
Teoria
Introdução
As equações hiperbólicas podem assustar bastante assim de cara, sem nem dar um “oi”, mas, calma, você verá que elas são simpáticas.
Seno e cosseno hiperbólicos e companhia
Antes de falar das equações em si, vamos falar do seno e cosseno hiperbólico. Eles, em geral, aparecem com a seguinte forma:
A primeira coisa a falar é que você não deve confundi-los com:
Esses últimos são o seno e cosseno trigonométricos com argumento e não são iguais ao seno e cosseno hiperbólico.
Por trás do rompante, as hiperbólicas são relações recorrentes envolvendo exponenciais:
Assim, já dá para concluir algumas coisas, como:
Só substituindo o pelo zero na fórmula da exponencial. Repare que é o mesmo resultado esperado para o seno e o cosseno trigonométrico nesse caso.
Quanto àquela relação fundamental dos quadrados, o sinal muda para os hiperbólicos:
Apresentados? Agora vamos para os parentes:
É a mesma analogia das relações trigonométricas. Viu só? As hiperbólicas não são difíceis e nem diferentes do que você já viu até agora.
Aplicando as identidades
Vamos ver agora os problemas que cobram identidades hiperbólicas. Como:
Ache se:
Nesse caso, basta lembrar que:
E substituir o valor dado:
Viu? Para identificar esse tipo de problema, repare que é pedido o valor de uma hiperbólica dado outra.
As equações
Agora que a gente já viu o que são e habitam as hiperbólicas, vamos falar de equações que as envolvem. O segredo para resolver essas equações é aplicar a definição!
Pense com a gente no seguinte problema:
Qual o valor de ? Vamos aplicar a definição para saber! Lembra que:
Então:
Ficamos agora com uma equação exponencial! Vamos tentar simplificar as coisas:
Aplicando ln dos dois lados, “cortamos” a exponencial:
Finalmente:
Legal? Exercícios agora!
Aplicando as identidades
As equações
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 - Capítulo 7, Ex. 7.4.1 - Modificado
Sendo:
Calcule as outras cinco hiperbólicas.
Passo 1
Bem, aqui precisamos aplicar a identidade. Como:
Se substituirmos:
Como o cosseno hiperbólico é sempre positivo, ficamos com parcela positiva da raiz:
Passo 2
Calculados o cosseno hiperbólico, mas ainda faltam : e . Para achar, basta lembrar-se das relações:
Pronto, tudo ok!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Reescreva a expressão em forma de exponenciais e simplifique o máximo que puder:
Passo 1
Primeiramente, não vá confundir:
Com:
Cuidado!
Como o problema quer o tudo em exponenciais, vamos aplicar a definição:
Que leva:
Pronto, é só isso mesmo!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Reescreva a expressão em forma de exponenciais e simplifique o máximo que puder:
Passo 1
Primeiramente, não vá confundir:
Com:
Cuidado!
Como o problema quer o tudo em exponenciais, vamos aplicar a definição:
Que leva:
Pronto, é só isso mesmo!