Equações de Graus Maiores
Produzido por Erick PinhoTeoria
Para equações do 1º e 2º grau temos um caminho bem definido de como chegar nas soluções, mas por aqui as coisas complicam um pouquinho na hora de resolver as equações de grau maior que 2.
Até existe uma fórmula que pode ser usada pra resolver equações do 3º grau, por exemplo, mas ela é bem complicada e já não vale a pena a gente tentar usá-la.
Mas não se desespere! Vamos aproveitar as soluções fáceis pra lidar com problemas difíceis!
Na prática, quando encontrar uma equação de grau maior que 2, vamos dar um jeito de transformar a equação para que tenhamos uma de grau menor e fique mais fácil resolver.
Aqui, vamos aprender dois jeitos de fazer isso. Vem comigo!
Fatoração
É bem fácil saber quando podemos usar esse método, sempre que a nossa equação tiver em todos os termos. Por exemplo:
O que vamos fazer então é colocar o em evidência! Vamos colocar a expressão entre parênteses, com o comum de todos os termos do lado de fora, pra isso, vamos dividir cada termo da equação por :
Agora, podemos observar duas coisas importantes! A primeira é que, como temos um sozinho do lado de fora, se , toda a expressão será zerada independente do valor que tivermos dentro do parêntese. Isso significa que é uma das soluções da nossa equação!
A segunda observação importante é que o que sobrou dentro dos parênteses é uma expressão do 2 grau, que podemos resolver com a fórmula de Bhaskara!
Encontramos então as três soluções da nossa equação: , e !
Um detalhe importante é que o número de soluções sempre será igual ao grau que tivermos, como aqui que a equação era de grau , encontramos soluções!
Briot-Ruffini
Suponha agora que você se depare com isso:
Vou começar revelando o ponto fraco desse método, pra usá-lo precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de e ver se damos sorte:
Ótimo! Com , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e é uma raiz da nossa equação.
Agora sim, vamos a Briot Ruffini, com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de , onde esse é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:
Vou ensinar um passo-a-passo pra usar esse método então:
Passo 1: Armar o quadro:
Primeiro, vamos traçar um quadro da seguinte maneira:
Na parte superior esquerda, colocamos a raiz que já conhecemos, no caso, :
Na parte superior direita, colocamos os coeficientes da expressão que queremos reduzir:
Passo 2: Multiplicar e somar
Pra começar, repita o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:
E multiplique o número que desceu pela raiz conhecida:
Agora, some o resultado com o segundo coeficiente à direita e coloque o resultado logo abaixo deste:
Atenção que como o coeficiente aqui era negativo , a etapa de soma vira uma subtração!
Passo 3: Repetir
Repita o processo até chegar no último coeficiente:
Mais uma vez, pra encerrar:
O último termo do resultado é o resto, mas como o resto é zero, não precisamos nos preocupar com ele. Fica tranquilo que a ideia aqui é sempre encontrarmos zero mesmo, então vamos seguir!
Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:
Essa expressão é o polinômio que estávamos procurando e podemos reescrever nossa equação como:
Portanto, nossas soluções serão:
O resultado da primeira parte, já conhecemos:
Para a segunda, como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para nossa equação são
Sei que Briot-Ruffini assusta um pouco da primeira vez que a gente vê, mas treina bastante que vai dar tudo certo!