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Equação de segundo grau

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Teoria

Fala aí, você acabou de chegar no Responde Aí! E a gente vai ensinar tudo que você precisa saber sobre Equações de Segundo Grau.

O que são equações de segundo grau?

As equações de segundo grau são aquelas em que alguma incógnita aparece elevado ao quadrado.

Essas equações são muito importantes porque aparecem em vários problemas de outras disciplinas!

Uma coisa interessante sobre as equações de segundo grau é que elas podem ter duas soluções, uma solução, ou até mesmo, nenhuma solução!

Forma geral das equações do segundo grau

Eu te dei uns exemplos de algumas equações do segundo graus. E se você perceber bem, todas elas tem os seguinte formato:

Essa é a forma geral das equações de segundo grau. E é importante você conhecer ela, pois é mais fácil resolver equações de segundo grau com esse formato!

Fórmula de Bháskara

A fórmula de bháskara é uma maneira de resolver qualquer equação do 2º grau!

A fórmula de bháskara tem duas etapas, primeiro calculamos o (lê delta), e depois calculamos as duas soluções possíveis da equação:

Nota o símbolo “mais ou menos” () na fórmula. Isso quer dizer que vamos ter duas respostas. Uma quando a gente usar o “mais” () e outra resposta quando a gente usar o “menos” ().

Importante: Só podemos usar a fórmula de bháskara quando a equação do 2º grau está na forma geral!

Vamos fazer um exemplo que tudo fica mais claro

Exemplo

Resolva a equação

Passo 1: O primeiro passo é manipular essa equação para que ela fica na forma geral.

Pronto, agora a equação está na forma geral!

Passo 2: Com a equação respeitando a forma geral, podemos calcular o delta.

Perceba que nessa equação , e

Passo 3: Agora podemos usar a segunda parte da fórmula de bháskara para calcular as soluções da equação do segundo grau

Primeiro vamos usar a fórmula com o símbolo de

E agora vamos aplicar a fórmula de novo escolhendo o símbolo de

Passo 4: Ou seja, as soluções da equação de segundo grau são e .

Pra que serve esse tal de ?

O delta () não tá aqui só pra deixar a fórmula de bháskara mais bonitinha. O valor do trás informações importantes sobre a equação.

  1. Se o então a equação do segundo grau terá duas soluções reais diferentes!
  2. Se o então a equação do segundo grau terá duas soluções reais iguais!
  3. Se o então a equação do segundo grau terá duas soluções complexas!

Videoaula

Pra saber tudo sobre as equações do segundo grau você pode conferir esse nosso super vídeo

E agora que você tá fera, confere aqui em baixo uns exercícios 👇

Forma geral das equações do segundo grau

Fórmula de Bháskara

Pra que serve esse tal de ?

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dentre os números abaixo, quais deles são raízes da equação x 2 - 3 x - 4 = 0 ?

- 1   ,   0   ,   1   ,   2   ,   4

Passo 1

Bom, vamos lá! Queremos verficar quais dos números acima são raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Certo?

Opaaaa, mas o que significa um número ser raíz de uma equação??

Basicamente chamaremos de raiz o valor que suas variáveis assumem de forma que a igualdade seja válida. Beleza?!

No caso aqui temos que achar os valores de x onde x 2 - 3 x - 4 dê 0 !

Passo 2

Então vamos substituir as opções que temos como possíveis raízes e verificar quais delas ao substituir na equação dará 0 :

x 2 - 3 x - 4 = 0

Vamos lá!

Para x = - 1 : Ao substituir o valor de x = - 1 na equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Temos

- 1 2 - 3 - 1 - 4 = 0

Fazendo as continhas, temos

1 + 3 - 4 = 0

0 = 0

OPAAAA! De cara verificamos que o x = - 1 satisfaz a nossa igualdade!! Então a primeira raiz já encontramos!

Vamos continuar com os outros possíveis valores!

Passo 3

Para x = 0   iremos realizar o mesmo procedimento! Vamos substituir o valor de x = 0 na nossa equação do 2º grau

x 2 - 3 x - 4 = 0

Assim, substituindo

0 2 - 3 0 - 4 = 0

0 - 0 - 4 = 0

- 4 = 0

Opa... Isso não é verdade! - 4 não é igual a 0 . Então podemos concluir que a igualdade não pe satisfeita e - 4 não é raiz da equação!

Passo 4

Vamos continuar! Agora para o valor de x = 1 . Ao substituir na equação, temos

x 2 - 3 x - 4 = 0

1 2 - 3 1 - 4 = 0

1 - 3 - 4 = 0

1 - 7 = 0

- 6 = 0

Opa... Isso também não é verdade! - 6 ≠ 0 ! Logo, x = 1 não é raíz da equação!

Da mesma forma, para x = 2 , teremos

x 2 - 3 x - 4 = 0

2 2 - 3 2 - 4 = 0

4 - 6 - 4 = 0

- 6 = 0

Ou seja, como - 6 ≠ 0 , então x = 2   também não é raiz da equação!

Passo 5

Vamos verificar o nosso último número. Ao substituir x = 4 na equação, teremos

x 2 - 3 x - 4 = 0

4 2 - 3 4 - 4 = 0

16 - 12 - 4 = 0

16 - 16 = 0

0 = 0

OPAAAAA, encontramos nossa outra raiz!!! Note que 0 = 0 ,   então a nossa igualdade é válida para x = 4 . Portanto, x = 4 também é raiz da equação!

Resposta

- 1   e 4

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre as raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Passo 1

Bom, vamos lá! Para encontrarmos as raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Passo 2

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 3

c = - 4

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 3 e c = - 4 , temos

∆ = - 3 2 - 4 1 - 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 + 16

∆ = 25

Passo 3

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 25 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - - 3 ± 25 2 1

x = 3 ± 5 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

E

x 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Beleeeza?!

Portanto, as raízes da equação são 4 e - 1 !

Resposta

- 1   e 4

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Encontre as raízes da equação

4 x 2 - 4 x + 1 = 0

Passo 1

Opaaa! Para encontrarmos as raízes da equação

4 x 2 - 4 x + 1 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Lembrando que

  • Se Δ = 0 , temos raízes reais iguais.
  • Se Δ > 0 , temos raízes reais distintas.
  • Se Δ < 0 , temos raízes complexas distintas.

Beleza?!

Passo 2

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

4 x 2 - 4 x + 1 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 4

b = - 4

c = 1

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 4 , b = - 4 e c = 1 , temos

∆ = - 4 2 - 4 4 1

Fazendo as continhas, temos

∆ = 16 - 16

∆ = 0

Opa! Se ∆ = 0

Teremos raízes reais iguais, beleza?! Vamos encontrar então quem será!

Passo 3

Vamos substituir o valor de ∆ = 0 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - - 4 ± 0 2 4

x = 4 ± 0 8

x = 4 8

Podemos simplificar o resultado para

x = 1 2

Ou seja, a raiz da nossa equação é

x = 1 2

Resposta

x = 1 2

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre as raízes da equação

2 x 2 - 3 x = 0

Passo 1

Vamos lá!! Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Se você reparar, a equação dessa questão está um pouco diferente! Se formos comparar

2 x 2 - 3 x = 0

Nosso c = 0 . O que faremos agora??

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara como estamos acostumados!! Identificando os valores

a = 2

b = - 3

c = 0

Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = - 3 2 - 4 2 0

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 - 0

∆ = 9

Vamos substituir o valor de ∆ = 9   e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - - 3 ± 9 2 2

Assim, nossas raízes serão

x 1 = 3 + 3 4 = 6 4

Podemos simplificar o resultado para

x = 3 2

A outrá será

x 2 = 3 - 3 4 = 0

Ou seja, as raízes são 0 e 3 2 !!

Passo 2

Ahhhhh, e se eu te contar que como c = 0 tem uma outra forma de encontrar as raízes dessa equação sem precisar usar a fórmula de Bhaskara?!?!?! Vou te mostrar aqui rapidinho!!!!

Vamos olhar com calma para a nossa equação

2 x 2 - 3 x = 0

Você concorda que nos dois termos da soma temos o x em comum? Podemos colocar esse x em comum em evidência! Ficará assim

x 2 x - 3 = 0

Note que agora temos um produto no qual os fatores são x e 2 x - 3 !

Na verdade o que fizemos foi reescrever a nossa equação do segundo grau de uma forma que será mais fácil de trabalhar! E podemos fazer isso sempre que c = 0

2 x 2 - 3 x = x 2 x - 3

Mas fizemos isso por quê???

Se você reparar, para a igualdade da nossa equação ser satisfeita, o resultado deve ser zero, concorda?

Então pensa comigo!!! Para a igualdade

x 2 x - 3 = 0

Ser satisfeita, as únicas possibilidades que temos de fazer essa multiplicação ser zero é um dos fatores ser 0 ,   pois qualquer número multiplicado por zero, dá zero!

Assim, teremos duas possibilidades:

x = 0

Pois aí teríamos

0 2 x - 3 = 0

0 = 0

Concorda? Então a nossa primeira raiz da equação é x = 0 !

Passo 3

A outra possibilidade que temos é se o outro fator da multiplicação for zero, ou seja,

2 x - 3 = 0

Porque aí teremos

x 2 x - 3 = 0

x 0 = 0

0 = 0

Concorda?! Assim, para 2 x - 3 = 0

Precisamos encontrar o valor de x que irá zerar esse termo! Isolando o x , teremos

2 x = 3

Passando o 2 pro outro lado da igualdade dividindo,

x = 3 2

Ou sejaaaaa, se x = 3 2 , então 2 x - 3 = 0 ! Portanto, a nossa outra raíz é x = 3 2 !

Beleza?!

Resposta

x = 0 e x = 3 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Encontre as raízes da equação

x 2 - 4 = 0

Passo 1

Vamos lá!! Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Se você reparar, a equação dessa questão está um pouco diferente! Se formos comparar com a equação do enunciado

x 2 - 4 = 0

Nosso b = 0 . O que faremos nessa situação? Quem poderá nos defender??

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara como estamos acostumados, mas no final vou te mostrar uma outra forma de fazer que pode ser que ajude em algum momento sem precisar usar a fórmula de Bhaskara!

Passo 2

Identificando os valores de a , b e c da equação x 2 - 4 = 0

temos

a = 1

b = 0

c = - 4

Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 0 2 - 4 1 - 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 0 + 16

∆ = 16

Vamos substituir o valor de ∆ = 16   e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - 0 ± 16 2 1

x = ± 4 2

Assim, nossas raízes serão

x 1 = 4 2 = 2

E

x 2 = - 4 2 = - 2

Ou seja, as raízes são - 2 e 2 !!

Passo 3

Agora vou te mostrar uma outra forma de encontrar as raízes, sem precisar usar a fórmula de Bhaskara!!!

Vamos olhar com calma para a nossa equação

x 2 - 4 = 0

Uma forma de resolvê-la e encontrar as raízes da equação é isolando o x ! Isso mesmo!!!

Podemos somar 4 em ambos os lados da igualdade, isolando o x 2 . Assim,

x 2 - 4 + 4 = 0 + 4

Fazendo as continhas em ambos os lados da equação, temos

x 2 = 4

Beleza?!

Passo 4

Agora repare que temos x 2 e não x do lado esquerdo da equação... Como podemos tirar esse quadrado? Podemos calcular a raíz quadrada em ambos os lados da equação!

Olha só

x 2 = 4

x 2 = ± 4

x = ± 2

Observe que o sinal ± aparece porque os possíveis resultados de x são - 2 e + 2 , uma vez que:

- 2 - 2 = 4

E

2   2   = 4

Portanto, as raízes da nossa equação são - 2   e 2 !

Resposta

x = - 2   e x = 2

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

A equação

2 x 2 + 2 x + 3 = 0

Possui raízes reais? Se sim, quais?

Passo 1

Opaaa! Para encontrarmos as raízes da equação

4 x 2 - 4 x + 1 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Show de bola?!

Lembrando que

  • Se Δ = 0 , temos raízes reais iguais.
  • Se Δ > 0 , temos raízes reais distintas.
  • Se Δ < 0 , temos raízes complexas distintas.

Beleza?!

Passo 2

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

2 x 2 + 2 x + 3 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 2

b = 2

c = 3

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 2 , b = 2 e c = 3 , temos

∆ = 2 2 - 4 2 3

Fazendo as continhas, temos

∆ = 4 - 24

∆ = - 20

Opa!

Se Δ < 0   e ntão não teremos raízes reais, apenas raízes complexas!! Show de bola?!

Resposta

A equação não possui raízes reais.

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Temos como raíz da equação x 2 - 8 x + 2 c = 0 o número - 1 . Assim, determine o valor do coeficiente c .

Passo 1

Vamos lá! Queremos encontrar o valor de c . Sabemos que x = - 1 é raíz da equação, então vamos utilizar essa informação a nosso favor para encontrar o valor de c !

Como x = - 1 é raíz da equação, vamos substituir esse valor no lugar de x ! Assim,

x 2 - 8 x + 2 c = 0

- 1 2 - 8 - 1 + 2 c = 0

Podemos dar aquela arrumada marota

1 + 8 + 2 c = 0

Somando o que der pra somar,

9 + 2 c = 0

Passo 2

Agora vamos encontrar isolar c !! Subtraindo ambos os lados da equação por - 9 temos

9 + 2 c - 9 = 0 - 9

Fazendo as continhas,

2 c = - 9

Beleza?! Podemos dividir ambos os lados da equação por 2 . Assim,

2 c 2 = - 9 2

que é a mesma coisa que

c = - 9 2

Ouuuu seja, encontramos o nosso valor de c que satisfaz as condições do enunciado!!

Resposta

c = - 9 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

A soma de um número com o seu quadrado é igual a 12 . Qual é esse número?

Passo 1

Vamos lá! Para resolver esse problema primeiro precisamos compreender o enunciado e depois vamos montar a equação para encontrar o número.

A soma de um número que não conhecemos com o seu quadrado é igual a 12 . Chamaremos esse número de x . Escrevendo a equação, teremos

x + x 2 = 12

Concorda?!

Passo 2

Podemos arrumar essa equação para deixá-la com a carinha que estamos acostumados:

a x 2 + b x + c = 0

Para isso, vamos colocar tudo do mesmo lado da equação. Subtraindo - 12   em ambos os lados da equação, temos

x + x 2 - 12 = 12 - 12

x + x 2 - 12 = 0

Para encontrarmos as raízes dessa equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Passo 3

Identificando os valores de a , b e c :

a = 1

b = 1

c = - 12

Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c  

Substituindo os valores a = 1 , b = 1 e c = - 12 , temos

∆ = 1 2 - 4 1 ( - 12 )  

Fazendo as continhas, temos

∆ = 1 + 48

∆ = 49

Passo 4

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 49 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - 1 ± 49 2 1

x = - 1 ± 7 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = - 1 + 7 2 = 6 2 = 3

E

x 2 = - 1 - 7 2 = - 8 2 = - 4

Beleeeza?!

Portanto, as raízes da equação são - 4 e 3 !

Resposta

- 4 e 3

Exercício Resolvido #9

Vestibular EEAR

A soma dos cubos das raízes da equação

2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1

É:

a)-343

b)-133

c)-7

d)-3

Passo 1

Vamos tentar juntar isso aí e ver onde dá: 2 x + 1 x - 3 - 2 x 2 - 9 = 1  

Fazendo M.M.C.:

2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 x - 3 x 2 - 9 = 1

Multiplicando os dois lados pelo denominador : 2 x + 1 x 2 - 9 - 2 x - 3 = x - 3 x 2 - 9

Veja que podemos escrever a equação de segundo grau como o produto de suas raízes: x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Assim, ficamos com: 2 x + 1 x - 3 x + 3 - 2 x - 3 = x - 3 x - 3 x + 3

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3

Temos que descartar valores x = 3 da nossa solução, se fizer parte, por conta desse corte.

Passo 2

Distribuindo:

2 x + 1 x + 3 - 2 = x - 3 x + 3 ⟹ 2 x 2 + 6 x + x + 3 - 2 = x 2 - 9

2 x 2 + 7 x + 1 = x 2 - 9 ⟹ x 2 + 7 x + 10 = 0

Pronto, conseguimos transformar isso tudo numa equação de segundo grau! Por Bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 7 ± 7 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 10 2 ⋅ 1 = - 7 ± 49 - 40 2 = - 7 ± 3 2

Logo:

x 1 = - 5 x 2 = - 2

Passo 3

Assim, a soma dos cubos das raízes será: x 1 3 + x 2 3 = - 5 3 + - 2 3 = - 125 - 8 = - 133

Letra b !

Resposta

- 133

Letra b .

Exercício Resolvido #10

Elaboração Própria

Qual o maior valor de k de modo que equação x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0 tenha uma das raízes nulas?

a)4

b)-1

c)-4

d)1

e)4 ou -1

Passo 1

Veja que k é uma constante e fará parte do coeficiente da equação, não da sua variável. Assim, podemos escrever:   x 2 - 6 x + k 2 - 3 k - 4 = 0

Veja que, se a parte em pareteses for zero, então podemos escrever: x 2 - 6 x = 0 ⟹ x x - 6 = 0

Que tem raízes x 1 = 0 e x 2 = 6 . Dessa forma, precisamos que:

k 2 - 3 k - 4 = 0

Passo 2

Agora sim, consideramos k a variável de uma equação de segundo grau, porque queremos descobrir o valor em que a equação zera. Para tal, vamos usar Bhaskara: k 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 4 2 ⋅ 1 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 25 2 = 3 ± 5 2

Logo, teremos: k 1 = 4 k 2 = - 1

A maior valor de k que satisfaz o problema será, portanto, 4 . Letra a . Não confunda com a e , ele pediu o maior valor, não o conjunto solução!

Resposta

k = 4

Letra a .