Método de Eliminação – Caso Não Homogêneo

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Nos tópicos anteriores nós vimos os métodos para resolver sistemas de EDOs homogêneos. Mas e se o sistema não for homogêneo? Olha esse exemplo:

  x ' = x + 4 y + t y ' = x + y + 2 t

Aqui, temos uma função de t , a forma geral do sistema é

X ' = A X + g t

Mas agora a função g ( t ) vai ser

g t = t 2 t

E não nula como quando era um sistema homogêneo. Beleza, mas como vamos resolver isso?

É igual fizemos para o caso homogêneo.

Nosso objetivo é transformar o sistema em apenas uma EDO de 2 ordem, ou em x ou em y, como for mais simples. Se escolhermos o y , como vai ficar?

Vamos isolar z em uma das duas equações, por exemplo na segunda.

x = y ' - y - 2 t

Agora vamos derivar implicitamente essa equação em relação a t , encontrando:

x ' = y ' ' - y ' - 2

Agora substituímos na segunda a derivada e a equação com y isolado.

x ' = x + 4 y + t

y ' ' - y ' - 2 = y ' - y - 2 t + 4 y + t

y ' ' - 2 y ' - 3 y = - t + 2

Pronto! Chegamos no objetivo de encontrar uma EDO de 2 ordem.

Já sabemos resolver esse tipo de EDO, mas vamos dar uma lembrada do passo a passo para essa EDO.

  1. Resolva a equação homogênea (fazendo o f t = 0 ).
  2. Identifique quem é o f ( t ) e compare com a tabela para determinar o seu chute.
  3. f ( t )

    Chute

    e d t

    A e d t

    sen ⁡ d t ou cos ⁡ d t

    A sen ⁡ d t + B cos ⁡ d t

    a t d + b t d - 1 + … + c

    A t d + B t d - 1 + … + C

  4. Compare a solução homogênea e a particular. Se a solução particular estiver dentro da solução homogênea, multiplicá-la por x . Repetir esse passo até que a solução particular não esteja mais na solução homogênea.
  5. Aplique o chute e suas derivadas na EDO para descobrir as constantes presentes nele, para assim, descobrir y p ( x ) .
  6. Fazer:

y x = y h x + y p x

A solução daquela EDO do nosso exemplo vai ser:

y = C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3

Agora para achar a função x basta fazer

x = y ' - y - 2 t

x = C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3 ' - C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3 - 2 t

x = - C 1 e - t + 3 C 2 e 3 t + 1 3 - C 1 e - t - C 2 e 3 t + 8 9 - t 3 - 2 t

x = - 2 C 1 e - t + 2 C 2 e 3 t + 11 9 - 7 t 3

Deu para relembrar esse método? Qualquer coisa é só voltar nos tópicos de resolução de EDOs de 2ª ordem.

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