Método de Eliminação – Caso Não Homogêneo
Produzido por Carolina SabaTeoria
Nos tópicos anteriores nós vimos os métodos para resolver sistemas de EDOs homogêneos. Mas e se o sistema não for homogêneo? Olha esse exemplo:
Aqui, temos uma função de , a forma geral do sistema é
Mas agora a função vai ser
E não nula como quando era um sistema homogêneo. Beleza, mas como vamos resolver isso?
É igual fizemos para o caso homogêneo.
Nosso objetivo é transformar o sistema em apenas uma EDO de 2 ordem, ou em x ou em y, como for mais simples. Se escolhermos o , como vai ficar?
Vamos isolar em uma das duas equações, por exemplo na segunda.
Agora vamos derivar implicitamente essa equação em relação a , encontrando:
Agora substituímos na segunda a derivada e a equação com isolado.
Pronto! Chegamos no objetivo de encontrar uma EDO de ordem.
Já sabemos resolver esse tipo de EDO, mas vamos dar uma lembrada do passo a passo para essa EDO.
- Resolva a equação homogênea (fazendo o ).
- Identifique quem é o e compare com a tabela para determinar o seu chute.
- Compare a solução homogênea e a particular. Se a solução particular estiver dentro da solução homogênea, multiplicá-la por . Repetir esse passo até que a solução particular não esteja mais na solução homogênea.
- Aplique o chute e suas derivadas na EDO para descobrir as constantes presentes nele, para assim, descobrir .
- Fazer:
Chute
ou
A solução daquela EDO do nosso exemplo vai ser:
Agora para achar a função basta fazer
Deu para relembrar esse método? Qualquer coisa é só voltar nos tópicos de resolução de EDOs de 2ª ordem.
#PartiuPassar