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Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

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Teoria

Aqui vamos ver como resolver sistemas de EDOs pelo método do cálculo funcional. A primeira coisa a se fazer, é colocar o sistema na forma matricial, que nós já vimos.

x ' = x + 5 y y ' = 5 x + y

Perceba que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

O nosso vetor das derivadas vai ser

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Essa matriz A é dos coeficientes do sistema, que no caso vai ficar

A = 1 5 5 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 5 5 1 x t y t

Beleza?

Agora é que são elas!! Tendo essa matriz A podemos resolver o sistema.

No fundo tudo se resume a achar dois valores, α e β , porque isso tudo? Porque a solução geral vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Como fazemos isso?

Achando α e β

Vamos usar um pouco de álgebra linear aqui.

Primeiro, vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 . Depois vamos resolver um sistema e vamos ter nossa solução.

Pra quem não lembra de álgebra linear, os autovalores são os λ que são solução da seguinte equação.

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

1 - λ 5 5 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 25 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 25 = 0

λ 2 - 2 λ - 24 = 0

Daí temos que:

λ 1 = 6   e   λ 2 = - 4

Tendo λ 1 e λ 2 , temos um tipo de sistema para cada caso de autovalores que vamos achar

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

O nosso sistema de α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2 = λ

O nosso sistema de α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Autovalores Complexos

Os autovalores complexo tem essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

O nosso sistema de α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i sen ⁡ b t   λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i sen ⁡ b t

No nosso exemplo, temos autovalores reais e diferentes, o nosso sistema para o cálculo funcional vai ser,

6 α + β = e 6 t   - 4 α + β = e - 4 t

Subtraindo as duas equações vamos ter

6 α + 4 α = e 6 t - e - 4 t

10 α = e 6 t - e - 4 t

α = e 6 t - e - 4 t 10

Vamos agora achar β , pela segunda equação

β = e - 4 t + 4 α

β = e - 4 t + 4 ⋅ e 6 t - e - 4 t 10

β = 4 e 6 t + 6 e - t 10

A nossa solução vai ficar

X = e 6 t - e - 4 t 10 A + 4 e 6 t + 6 e - t 10 I ∙ C 1 C 2

Fazendo bastantes contas, vamos achar

X = C 1 + 2 C 2 e 6 t + C 1 - 2 C 2 e - 4 t 5 C 1 + 2 C 2 e 6 t + - C 1 + 2 C 2 e - 4 t 10

Solução geral

Então, só para deixarmos bem organizado, a nossa solução geral vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Onde I é a identidade e A é aquela matriz que já vimos lá em cima.

Então tudo se resume a achar essas duas constantes, α e β

Partiu exercícios!!!

Achando α e β

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

  X ' = 3 2 4 1 X

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 2 4 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

5 α + β = e 5 t   - α + β = e - t

Subtraindo as duas equações vamos ter

5 α + α = e 5 t - e - t

6 α = e 5 t - e - t

α = e 5 t - e - t 6

O valor de β vai ser

β = α + e - t

β = e 5 t - e - t 6 + e - t

β = e 5 t + 5 e - t 6

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 5 t - e - t 6 3 2 4 1 + e 5 t + 5 e - t 6 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = 3 e 5 t - 3 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 e 5 t - e - t 6 + e 5 t + 5 e - t 6 0 0 e 5 t + 5 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = 4 e 5 t + 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 2 e 5 t + 4 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = C 1 4 e 5 t + 2 e - t 6 + C 2 2 e 5 t - 2 e - t 6 C 1 2 e 5 t - 2 e - t 3 + C 2 2 e 5 t + 4 e - t 6

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6

Resposta

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 229, exercício 7 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Com

X 0 = 3 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores iguais o sistema para achar α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Com os nossos valores vai ficar

- 3 α + β = e - 3 t   α = t e - 3 t

Já temos de cara o valor de α

α = t e - 3 t

O valor de β vai ser

β = 3 α + e - 3 t

β = 3 t e - 3 t + e - 3 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = t e - 3 t 1 - 4 4 - 7 + 3 t e - 3 t + e - 3 t 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = t e - 3 t - 4 t e - 3 t 4 t e - 3 t - 7 t e - 3 t + 3 t e - 3 t + e - 3 t 0 0 3 t e - 3 t + e - 3 t ∙ C 1 C 2

X = 4 t e - 3 t + e - 3 t - 4 t e - 3 t 4 t e - 3 t - 4 t e - 3 t + e - 3 t ∙ C 1 C 2

X = 4 C 1 t e - 3 t + C 1 e - 3 t - 4 C 2 t e - 3 t 4 C 1 t e - 3 t - 4 C 2 t e - 3 t + C 2 e - 3 t

Passo 5

Vamos agora resolver o problema do valor inicial

X 0 = 3 2

X 0 = 4 C 1 0 e - 3.0 + C 1 e - 3.0 - 4 C 2 0 e - 3.0 4 C 1 0 e - 3.0 - 4 C 2 0 e - 3.0 + C 2 e - 3.0

X 0 = C 1 C 2

Então vamos ter

C 1 C 2 = 3 2

Então

C 1 = 3

C 2 = 2

Passo 6

A solução vai ficar

X = 12 t e - 3 t + 3 e - 3 t - 8 t e - 3 t 12 t e - 3 t - 8 t e - 3 t + 2 e - 3 t

X = 4 t e - 3 t + 3 e - 3 t 4 t e - 3 t + 2 e - 3 t

Resposta

X = 4 t e - 3 t + 3 e - 3 t 4 t e - 3 t + 2 e - 3 t

Exercício Resolvido #3

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 220, exercício 10 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Com

X 0 = 1 - 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método do cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 3 2 - 1 - 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i sen ⁡ b t   λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i sen ⁡ b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = - 2

b = 1

Com os nossos valores vai ficar

- 2 + i α + β = e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t   - 2 - i α + β = e - 2 t cos ⁡ t - i sen ⁡ t

Esse é o momento que você para, respira fundo e pensa, agora ferrou!!!!! Quando a parada der complexa as contas vão ser levemente bizarras mesmo, mas relaxa que você consegue, me segue até o fim e não desiste.

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

- 2 + i α - - 2 - i α = e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t - e - 2 t cos ⁡ t - i sen ⁡ t

2 i α = 2 i e - 2 t sen ⁡ t

α = e - 2 t sen ⁡ t

O valor de β vai ser

β = - - 2 + i α + e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = - - 2 + i e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = 2 e - 2 t sen ⁡ t - i e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t + i e - 2 t sen ⁡ t

β = 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e - 2 t sen ⁡ t - 3 2 - 1 - 1 + 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = - 3 e - 2 t sen ⁡ t 2 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t + 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 0 0 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t ∙ C 1 C 2

X = - e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 2 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t ∙ C 1 C 2

X = - C 1 e - 2 t sen ⁡ t + C 1 e - 2 t cos ⁡ t + C 2 2 e - 2 t sen ⁡ t - C 1 e - 2 t sen ⁡ t + C 2 e - 2 t sen ⁡ t + C 2 e - 2 t cos ⁡ t

Passo 5

Vamos agora resolver o problema do valor inicial

X 0 = 1 - 2

X 0 = - C 1 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 1 e - 2.0 cos ⁡ 0 + C 2 2 e - 2.0 sen ⁡ 0 - C 1 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 2 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 2 e - 2.0 cos ⁡ 0

X 0 = C 1 C 2

Então vamos ter

C 1 C 2 = 1 - 2

Então

C 1 = 1

C 2 = - 2

Passo 6

A solução vai ficar

X = - e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t - 4 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t

X = e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sen ⁡ t - 3 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t

Resposta

X = e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sen ⁡ t - 3 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t

Exercício Resolvido #4

Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III.Editora Bookman, 2009. Cap 1. P.43. Exercício 13. – Adaptado.

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

x ' = 1 2 x y ' = x - 1 2 y

Dado que x ' 0 = 3   e y ' 0 = 5

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o sistema na forma matricial.

X ' = 1 2 0 1 - 1 2 X

Agora, para resolver pelo cálculo funcional, devemos identificar o valor da matriz A

A = 1 2 0 1 - 1 2

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 2 - λ 0 1 - 1 2 - λ = 0

1 2 - λ - 1 2 - λ = 0

λ 2 - 1 4 = 0

λ 1 = 1 2

λ 2 = - 1 2

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

1 2 α + β = e 1 2 t   - 1 2 α + β = e - 1 2 t

Somando as duas equações vamos ter

2 β = e 1 2 t + e - 1 2 t

β = e 1 2 t + e - 1 2 t 2

O valor de α vai ser

1 2 α + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 = e 1 2 t

α = e 1 2 t - e - 1 2 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 1 2 t - e - 1 2 t 1 2 0 1 - 1 2 + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = e 1 2 t - e - 1 2 t 2 0 e 1 2 t - e - 1 2 t e - 1 2 t + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 0 0 e 1 2 t + e - 1 2 t 2 ∙ C 1 C 2

X = e 1 2 t 0 e 1 2 t - e - 1 2 t e - 1 2 t ∙ C 1 C 2

X = C 1 e 1 2 t C 1 ( e 1 2 t - e - 1 2 t ) + C 2 e - 1 2 t

X = C 1 e 1 2 t C 1 e 1 2 t + e - 1 2 t ( - C 1 + C 2 )

Passo 5

Agora temos que fazer a solução do valor inicial

X 0 = 3 5

X 0 = C 1 e 1 2 0 C 1 e 1 2 0 + e - 1 2 0 ( - C 1 + C 2 )

Então

C 1 = 3

E

C 2 = 5

Passo 6

A solução vai ficar

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + e - 1 2 0 ( - 3 + 5 )

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + 2 e - 1 2 t

Resposta

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + 2 e - 1 2 t

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2014.1, Questão 3 item b

Considere o sistema

X ' t = 2 3 2 1 X t

Seja X = x 1 x 2 uma solução do sistema tal que:

lim t → ∞ ⁡ X t = 0 0

E

x 1 0 = 1

Calcule x 2 0

Passo 1

Aqui a primeira coisa que temos que repara é que o sistema já está na forma matricial, dessa forma a matriz A vai ser

A = 2 3 2 1

Agora temos que achar seus autovalores

Passo 2

Vamos aos autovalores

2 - λ 3 2 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ - 2 3 = 0

2 - 2 λ - λ + λ 2 - 6 = 0

2 - 3 λ + λ 2 - 6 = 0

λ 2 - 3 λ - 4 = 0

λ 1 = - - 3 + - 3 2 - 4 1 - 4 2.1 = 3 + 9 + 16 2.1 = 3 + 25 2 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

λ 2 = - - 3 - - 3 2 - 4 1 - 4 2.1 = 3 - 9 + 16 2.1 = 3 - 25 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

4 α + β = e 4 t   - α + β = e - t

Subtraindo as duas equações vamos ter

4 α + α = e 4 t - e - t

5 α = e 4 t - e - t

α = e 4 t - e - t 5

O valor de β vai ser

β = α + e - t

β = e 4 t - e - t 5 + e - t

β = e 4 t + 4 e - t 5

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 4 t - e - t 5 2 3 2 1 + e 4 t + 4 e - t 5 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = 2 e 4 t - 2 e - t 5 3 e 4 t - 3 e - t 5 2 e 4 t - 2 e - t 5 e 4 t - e - t 5 + e 4 t + 4 e - t 5 0 0 e 4 t + 4 e - t 5 ∙ C 1 C 2

X = 3 e 4 t + 2 e - t 5 3 e 4 t - 3 e - t 5 2 e 4 t - 2 e - t 5 2 e 4 t + 3 e - t 5 ∙ C 1 C 2

X = C 1 3 e 4 t + 2 e - t 5 + C 2 3 e 4 t - 3 e - t 5 C 1 2 e 4 t - 2 e - t 5 + C 2 2 e 4 t + 3 e - t 5

X = 3 C 1 + 3 C 2 e 4 t + 2 C 1 - 3 C 2 e - t 5 2 C 1 + 2 C 2 e 4 t + - 2 C 1 + 3 C 2 e - t 5

Passo 5

Vamos ver aquela história de limite ir para zero.

Se fizermos o limite vai depender de e 4 t e e - t vamos ver cada um desses limites separados

lim t → ∞ ⁡ e - t = e - ∞ = 0

Beleza esse deu zero como queríamos, vamos ver agora o outro

lim t → ∞ ⁡ e 4 t = e 4 . ∞ = ∞

Agora temos um problema, temos aquele infinito, a forma de evitar isso é fazer com que e 4 t não apareça assim vamos fazer

3 C 1 + 3 C 2 = 0

2 C 1 + 2 C 2 = 0

Assim garantimos que aquilo tudo vai ser 0 . Repara que isso não é indeterminação 0 ∞ isso porque não tende a 0 , mas sim ele é zero.

Repara que temos a mesma relação entre C 1 e C 2 nas duas equações, que vai ser

C 1 = - C 2

Passo 6

Já achamos C 1 Vamos ver agora a outra condição que ele deu x 1 0 = 1

Repara que temos

x 1 t = 3 C 1 + 3 C 2 e 4 t + 2 C 1 - 3 C 2 e - t 5

Isso nos diz que

x 1 0 = 3 C 1 + 3 C 2 e 4.0 + 2 C 1 - 3 C 2 e - 0 5

x 1 0 = 3 C 1 + 3 C 2 + 2 C 1 - 3 C 2 5

x 1 0 = 5 C 1 5

1 = C 1

Então

C 2 = - 1

Agora temos as constantes e a solução vai ser

X = 3 + 3 - 1 e 4 t + 2 - 3 - 1 e - t 5 2 + 2 - 1 e 4 t + - 2 + 3 - 1 e - t 5

X = 2 + 3 e - t 5 - 2 - 3 e - t 5

X = 5 e - t 5 - 5 e - t 5

X = e - t - e - t

Passo 7

Repara que isso nos diz que

x 2 t = - e - t

Então

x 2 0 = - e - 0

x 2 0 = - 1

Resposta

x 2 0 = - 1