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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 11

11- Obtenha a série de Fourier exponencial para o sinal da Figura 17.54

Passo 1

O período dessa onda é igual a:

T = 3 - - 1 = 4   s

Então ω   será:

ω = 2 π 4 = π 2

E as equações dentro do período de - 1   s até 3   s é:

y t = 10 t + 10 ;   - 1 < t < 0

y t = 10 ;     0 < t < 1

Passo 2

Então c n será:

c n = 1 T ∫ 0 T v t e - j   n ω o t d t

c n = 1 4 ∫ - 1 0 10 t + 10 e - j n π 2 t d t + ∫ 0 1 10 e - j n π 2 t d t

c n = 10 4 ∫ - 1 0 t e - j n π 2 t d t + ∫ - 1 0 e - j n π 2 t d t + ∫ 0 1 e - j n π 2 t d t

Vamos por partes:

∫ e - j n π 2 t d t = - 2 j n π e - j n π t 2

E

∫ t   e - j n π 2 t d t

Com:

u = t ; d u = 1

d v = e - j n π 2 t ; v = - 2 j n π e - j n π t 2

Então:

∫ t   e - j n π 2 t d t = - 2 t j n π e - j n π t 2 + ∫ 2 j n π e - j n π t 2 = - 2 t j n π e - j n π t 2 - 4 - n 2 π 2 e - j n π t 2

∫ t   e - j n π 2 t d t = - 2 t j n π e - j n π t 2 + 4 n 2 π 2 e - j n π t 2

Então:

c n = 10 4 - 2 t j n π e - j n π t 2 + 4 n 2 π 2 e - j n π t 2 - 1 0 + - 2 j n π e - j n π t 2 - 1 0 + - 2 j n π e - j n π t 2 0 1

c n = 10 4 0 + 4 n 2 π 2 - 2 j n π e j n π 2 - 4 n 2 π 2 e j n π 2 - 2 j n π + 2 j n π e j n π 2 - 2 j n π e - j n π 2 + 2 j n π

c n = 10 4 4 n 2 π 2 1 - e j n π 2 - 2 j n π e - j n π 2

c n = 10 4 4 n 2 π 2 1 - e j n π 2 + 2 j n π e - j n π 2

Só que pela identidade de Euler sabemos que:

e j x = cos ⁡ x + j s i n   x

Então para x = - n π 2

e - j n π 2 = cos ⁡ - n π 2 + j s i n - j π n 2

Só que pela função cosseno ser par e a seno ser ímpar temos:

e - j n π 2 = cos ⁡ n π 2 - j s i n n π 2 = - j s i n n π 2

e - j n π 2 = - j sin ⁡ n π 2

Se tem o mesmo raciocinio para x = + n π 2

e j n π 2 = j s i n n π 2

c n = 10 4 4 n 2 π 2 1 - j s i n n π 2 + 2 n π sin ⁡ n π 2

c n = 10 π 2 n 2 1 - j sin ⁡ n π 2 + 5 n π sin ⁡ n π

c n = 10 n 2 π 2 1 - j s i n n π 2 + n π 2 sin ⁡ n π

Deixando nossa série de Fourier complexa da seguinte maneira:

y t = ∑ n = - ∞ n = ∞ 10 n 2 π 2 1 - j s i n n π 2 + n π 2 sin ⁡ n π e j n π t 2

Resposta

c n = 10 n 2 π 2 1 - j s i n n π 2 + n π 2 sin ⁡ n π

y t = ∑ n = - ∞ n = ∞ 10 n 2 π 2 1 - j s i n n π 2 + n π 2 sin ⁡ n π   e j n π t 2

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